"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Прибавление числа к сумме позволяет считать удобнее: вместо того чтобы сначала находить сумму в скобках, можно прибавить число к одному из слагаемых, а затем к результату прибавить другое. Например, 36 + (14 + 25) можно вычислить как (36 + 14) + 25. Это правило основано на сочетательном свойстве сложения. Оно помогает быстрее выполнять устные вычисления и упрощать выражения, не меняя их значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Слагаемые — числа, которые складывают. В записи 4 + 7 числа 4 и 7 являются слагаемыми: каждое из них вносит свой вклад в общий результат. Понимание этой роли помогает следить, чтобы при преобразовании выражения ни одно число не потерялось.
Сумма — результат сложения, а также выражение, составленное из слагаемых. Например, в записи 4 + 7 сумма обозначена всем выражением, а её значение равно 11. Это различие нужно, чтобы понимать, что именно можно преобразовать: выражение или его результат.
Прибавление числа к сумме — преобразование, при котором число прибавляют к одному из слагаемых суммы, а затем складывают с другим. Так, 5 + (3 + 2) можно записать как (5 + 3) + 2. Приём нужен, чтобы выбрать более удобный порядок вычислений и сохранить исходное значение.
Сочетательное свойство сложения — правило, позволяющее менять группировку слагаемых без изменения суммы. Например, a + (b + c) = (a + b) + c. Буквы здесь обозначают любые числа, поэтому правило применимо не к одному примеру, а к разным выражениям.
Пусть нужно вычислить 8 + (2 + 5). Сначала можно сложить числа в скобках: 2 + 5 = 7, затем получить 8 + 7 = 15. Но можно прибавить к 8 сначала 2, а потом 5: получится 10 + 5 = 15; результат тот же, потому что при сложении объединяется одно и то же количество.
Общий случай записывают так: a + (b + c) = (a + b) + c. Левая часть означает, что сначала складывают b и c, а затем к результату прибавляют a. Правая часть предлагает сначала сложить a и b, а потом прибавить c; все три числа остаются в выражении, поэтому равенство сохраняется.
Скобки указывают, какие действия сгруппированы, но не меняют сами числа и знак сложения между ними. Сочетательное свойство разрешает переставить скобки, сохраняя порядок слагаемых: a, затем b, затем c. Если же меняется и порядок чисел, например a + b превращается в b + a, это уже переместительное свойство, а не только сочетательное.
Иногда к одному слагаемому удобнее прибавить не первое, а второе. Например, 7 + (13 + 4) можно перегруппировать как (7 + 13) + 4, потому что 7 и 13 дают круглое число 20. Если при этом переставить слагаемые и записать (7 + 4) + 13, потребуется также переместительное свойство; такая группировка тоже может быть удобной, но основание у неё двойное.
Правило используют для устных вычислений и упрощения выражений. Чтобы посчитать 48 + 27, число 27 можно представить как 20 + 7 и прибавить части по очереди. При выборе частей ищут дополнение до круглого числа, а затем обязательно проверяют, что разложение верно: 20 + 7 действительно равно 27.
Таблица показывает, как применять перегруппировку, выбирать удобные слагаемые и проверять результат. Формулу a + (a + c) здесь читать не нужно: в строках приведены отдельные записи для разных приёмов. При изменении порядка слагаемых помни, что дополнительно используется переместительное свойство.
| Ситуация | Запись | Как выполнять |
|---|---|---|
| Прибавление числа к сумме | a + (b + c) = (a + b) + c | Сначала прибавить число к одному слагаемому, затем прибавить другое. |
| Выбор удобного слагаемого | a + (b + c) = (a + c) + b | Выбрать слагаемое, с которым вычисление будет проще; при перестановке применить переместительное свойство. |
| Разложение числа на части | a + n = a + (b + c) | Представить число в виде удобной суммы, причём b + c = n. |
| Проверка равенства | Левая и правая части имеют одинаковое значение. | Вычислить обеими способами и сравнить результаты. |
Число 27 удобно разбить на десятки и единицы: 20 и 7. Сначала прибавим 20 к 48, потому что это легко сделать, а затем добавим оставшиеся 7. Так мы применяем прибавление числа по частям.
Ответ: 75. Проверка обратным сложением показывает, что 75 − 27 = 48. Значит, полученное число согласуется с исходным выражением.
Если сначала сложить числа в скобках, получится 39, а затем придётся считать 36 + 39. Удобнее объединить 36 и 14: их сумма равна круглому числу 50. Для этого меняем группировку, сохраняя порядок слагаемых.
Ответ: 75. Для проверки можно выполнить исходный порядок: 14 + 25 = 39, затем 36 + 39 = 75. Оба способа дают одинаковый результат.
Среди слагаемых есть 397 и 103: вместе они образуют 500. Если сначала прибавить 168 к 397, промежуточное вычисление будет менее удобным. Перегруппируем слагаемые так, чтобы сначала получить круглую сумму; при их перестановке используем переместительное свойство, а при смене скобок — сочетательное.
Ответ: 668. Можно проверить сложением в исходном порядке: 397 + 168 = 565, а 565 + 103 = 668. Удобная группировка сократила вычисления, но не изменила сумму.
Первая ошибка — считать, что сочетательное свойство само разрешает менять порядок слагаемых. Его формула меняет только скобки и сохраняет порядок чисел; перестановку обосновывает переместительное свойство. Чтобы проверить запись, сравни исходную последовательность слагаемых и объясни каждую перестановку.
Вторая ошибка — терять слагаемое при снятии или перестановке скобок. Так бывает, если воспринимать скобки как необязательный знак и не отслеживать все числа. Пересчитай слагаемые в исходной и новой записях: их должно быть одинаковое количество и каждое число должно сохраниться.
Третья ошибка — неверно разложить число, например записать 27 = 20 + 8. Ошибку допускают, когда подбирают удобные части, но не проверяют их сумму. Сложи части отдельно: если они не дают исходное число, разложение неверно.
Четвёртая ошибка — выбрать неудобный порядок и ошибиться в промежуточном вычислении. Это часто случается, когда не замечают пары, дающей круглое число, или слишком торопятся. Перед счётом оцени, какая группировка проще, а после вычисления проверь результат другим способом.
До этой темы нужно понимать смысл сложения и знать названия его компонентов: слагаемые и сумму. Также пригодятся переместительное свойство и разложение числа на разрядные слагаемые, например 27 = 20 + 7. Эти знания помогают обосновать перестановку чисел и выбрать части для удобного счёта.
Приём используется в устных вычислениях, при раскрытии скобок и преобразовании числовых выражений. Позже сочетательное свойство помогает работать с другими свойствами действий и решать текстовые задачи, где нужно объединять несколько количеств. Умение группировать слагаемые делает вычисления короче и понятнее.
Можно ли менять местами слагаемые при применении этого правила?
Само сочетательное свойство меняет только группировку слагаемых, но сохраняет их порядок: a + (b + c) = (a + b) + c. Чтобы менять слагаемые местами, нужно также применить переместительное свойство сложения.
Чем сочетательное свойство отличается от переместительного?
Переместительное свойство разрешает поменять слагаемые местами: a + b = b + a. Сочетательное свойство позволяет изменить, какие слагаемые складываются первыми: a + (b + c) = (a + b) + c.
Как понять, на какие части лучше разложить число?
Выбирай части так, чтобы одна из них дополняла другое слагаемое до круглого числа, например до 10, 100 или 1000. Проверь, что части в сумме дают исходное число.
Нужно ли всегда сначала выполнять действие в скобках?
При обычном вычислении скобки показывают, что действие в них выполняют первым. Но сочетательное свойство позволяет перегруппировать слагаемые, если равенство сохраняется; тогда скобки можно поставить по-другому.
Как проверить, что преобразование выражения выполнено правильно?
Вычисли исходное выражение и преобразованное отдельно, затем сравни ответы. Если они различаются, проверь, не потерялось ли слагаемое и верно ли разложено число.
Урок 5.Прибавление числа к сумме
