Урок 5.Трехзначные числа

Определения и обозначения

Трёхзначное число — число, записанное тремя цифрами, причём первая слева не равна нулю. К таким числам относятся все числа от 100 до 999: 99 ещё двузначное, а 100 уже трёхзначное. Это различие помогает понимать, сколько разрядов содержит запись.

Разряд — место цифры в записи числа, которое определяет её значение. Например, цифра 4 в числе 40 обозначает четыре десятка, а в числе 400 — четыре сотни. Знание разрядов нужно, чтобы верно прочитать число и не перепутать его цифры с их значениями.

Сотня — единица третьего разряда, равная десяти десяткам. Она также состоит из ста единиц, потому что каждый десяток содержит десять единиц. Сотни нужны для счёта больших количеств и образования трёхзначных чисел.

Разрядный состав числа — представление числа как суммы его сотен, десятков и единиц. Например, 583 состоит из 5 сотен, 8 десятков и 3 единиц, то есть 583 = 500 + 80 + 3. Такая запись показывает вклад каждой цифры и помогает выполнять вычисления.

Как это устроено

Десять отдельных единиц удобно объединить в одну группу — десяток, а десять десятков — в сотню. Так появляется счёт группами, который позволяет коротко записывать большие количества: вместо ста отдельных знаков достаточно записать цифру в разряде сотен. В трёхзначной записи каждому разряду отведено своё место, поэтому по цифрам сразу видно количество сотен, десятков и единиц.

Одна и та же цифра означает разное в зависимости от места. В числе 555 первая справа пятёрка означает 5 единиц, следующая — 5 десятков, а третья — 5 сотен. Это происходит потому, что каждый следующий разряд слева в десять раз крупнее предыдущего. Поэтому цифру нельзя рассматривать отдельно от её разряда.

Читая трёхзначное число, сначала называют количество сотен, а затем оставшуюся часть числа. Чтобы записать число, ставят цифру сотен, десятков и единиц в правильные позиции. Если какого-то разряда нет, его всё равно обозначают нулём: 405 читается «четыреста пять», а ноль показывает отсутствие десятков; 470 читается «четыреста семьдесят», поскольку единиц нет.

Чтобы разложить число на разрядные слагаемые, каждую цифру заменяют значением её разряда. Например, в числе 372 это 300, 70 и 2, поэтому 372 = 300 + 70 + 2. Обратно, из состава 6 сотен, 0 десятков и 4 единиц составляют 604: ноль занимает место десятков, хотя слагаемое 0 десятков можно не записывать.

Сравнивать числа нужно слева направо, начиная с сотен, потому что сотни дают наибольший вклад в число. Если число сотен разное, большему числу сотен соответствует большее число. При равных сотнях сравнивают десятки, а если равны и они — единицы; так сравнение опирается на значение разрядов, а не на случайно выбранную цифру.

Разряды трехзначного числа

Читай таблицу справа налево, если нужно определить, где стоят единицы, десятки и сотни, и слева направо — если разбираешь число по разрядам. Строка с числом 583 показывает, как цифры превращаются в разрядные слагаемые. Для другого числа нужно заменить значения цифр, сохранив тот же порядок разрядов.

Разбор задач

Записать цифрами число: четыре сотни, два десятка и семь единиц; прочитать получившееся число.

Нужно перенести каждое указанное количество в свой разряд. Сначала определяем сотни, затем десятки и единицы, ведь их места нельзя менять местами. После записи проверяем, что число содержит именно заданные группы.

1. Четыре сотни означают цифру 4 на третьем месте справа.
2. Два десятка означают цифру 2 на втором месте справа.
3. Семь единиц означают цифру 7 на первом месте справа, поэтому получаем 427.
4. Читаем число: 427 — «четыреста двадцать семь».

Ответ: 427, четыреста двадцать семь. Проверка разрядного состава: 427 = 400 + 20 + 7. В каждом разряде стоит цифра, соответствующая заданному количеству.

Разложить число 604 на разрядные слагаемые и объяснить роль нуля.

В числе 604 нужно определить цифры сотен, десятков и единиц. Ноль нельзя просто убрать из записи: без него соседние цифры переместились бы в другие разряды. Однако нулевой разряд не даёт ненулевого слагаемого в сумме.

1. Цифра сотен — 6, значит, число содержит 600.
2. Цифра десятков — 0, значит, десятков нет и слагаемое десятков равно 0.
3. Цифра единиц — 4, значит, число содержит ещё 4 единицы.
4. Складываем разрядные значения: 604 = 600 + 0 + 4, или 604 = 600 + 4.

Ответ: 604 = 600 + 4. Ноль показывает, что десятков нет, и сохраняет цифре 4 место единиц. Благодаря ему запись 604 не смешивается с числами 64 или 640.

Составить наибольшее и наименьшее трёхзначные числа из цифр 3, 7 и 0 без повторений, затем сравнить их.

В каждом случае используются все три цифры по одному разу. Чтобы число было трёхзначным, на первом месте слева должна стоять ненулевая цифра. Для наибольшего числа выгодно поставить в разряд сотен самую большую допустимую цифру, а для наименьшего — самую маленькую ненулевую.

1. Для наибольшего числа ставим 7 в разряд сотен. Из оставшихся цифр 3 и 0 ставим 3 в десятки, а 0 в единицы: получаем 730.
2. Для наименьшего числа ставим 3 в разряд сотен. Из оставшихся цифр 0 и 7 ставим 0 в десятки, а 7 в единицы: получаем 307.
3. Сравниваем сотни: в 730 их 7, а в 307 — 3. Так как 7 > 3, число 730 больше.

Ответ: наибольшее число — 730, наименьшее — 307; 730 > 307. Ноль нельзя ставить впереди, поэтому запись 037 не подходит: она означает двузначное число 37. Сравнение по сотням сразу подтверждает, какое из двух чисел больше.

Типичные ошибки

Число 405 иногда читают как «четыре тысячи пять» или просто пропускают ноль, потому что путают сотни с тысячами и не замечают пустой разряд. В записи 405 цифра 4 означает четыре сотни, а ноль показывает отсутствие десятков. Проверка: разложи число по разрядам — 405 = 400 + 5 — и прочитай его как «четыреста пять».

Запись 372 могут разложить неправильно, если цифры принимают за готовые слагаемые: 3, 7 и 2. Но цифра 3 стоит в разряде сотен, а 7 — в разряде десятков, поэтому верно 372 = 300 + 70 + 2. Для проверки сопоставь каждую цифру с её местом и сложи разрядные значения.

При сравнении иногда смотрят на первую встретившуюся одинаковую или просто заметную цифру, не начиная с сотен. Так можно пропустить разницу в старшем разряде: например, 498 больше 312, хотя отдельные цифры в числе 312 могут быть больше некоторых цифр числа 498. Сравнивай разряды слева направо и остановись на первом различающемся.

Запись с тремя знаками, например 057, ошибочно считают трёхзначным числом. Причина — подсчёт всех написанных цифр без учёта ведущего нуля: ноль слева не обозначает сотни и не увеличивает число разрядов. Убери его и проверь результат: 057 = 57, значит, это двузначное число.

Связь с другими темами

Для работы с трёхзначными числами нужны навыки счёта единицами и десятками, знание состава числа и умение читать и записывать одно- и двузначные числа. Эти прежние умения помогают понять, как группы единиц превращаются в десятки и сотни. Позже разряды пригодятся при сравнении и округлении чисел, письменных вычислениях и решении задач с величинами. Тот же принцип разрядной записи продолжается в многозначных числах: слева появляются новые, более крупные разряды.

Что запомнить

• Трёхзначные числа имеют от 100 до 999.
• В записи трёхзначного числа справа налево находятся единицы, десятки и сотни.
• Ценность цифры определяется её разрядом.
• Десять десятков составляют одну сотню.
• Ноль показывает отсутствие единиц соответствующего разряда.
• Трёхзначное число можно представить суммой разрядных слагаемых.
• При сравнении сначала сравнивают сотни, затем десятки и единицы.