Урок 6.Круговые диаграммы

Определения и обозначения

Круговая диаграмма — изображение целого в виде круга, разделённого на секторы, соответствующие частям величины. Например, распределение расходов можно показать секторами «питание», «транспорт» и «одежда». Такая диаграмма помогает быстро сравнить части между собой.

Сектор круга — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. В диаграмме сектор представляет отдельную категорию или значение. Чем больше доля категории, тем больше площадь и угол её сектора.

Доля величины — отношение части к целому, выраженное дробью, десятичным числом или процентом. Если из 20 учеников 5 занимаются плаванием, доля равна 5/20 = 1/4 = 25%. Доля показывает, какую часть всего количества занимает выбранная категория.

Центральный угол — угол сектора с вершиной в центре круга. Его величина определяет размер сектора и поэтому связана с долей части. Для всего круга центральный угол равен 360°.

Как это устроено

Полный круг принимают за целое, потому что при одном полном обороте луч возвращается в исходное положение, а угол такого оборота равен 360°. Поэтому 100% целого удобно сопоставить с 360°. Любая часть круга тогда выражается тем же отношением: например, четверть круга составляет 25% и имеет угол 90°.

Чтобы найти угол сектора по доле, долю умножают на 360°. Такое действие показывает, какая часть полного угла приходится на категорию: для доли 1/5 получаем 1/5 × 360° = 72°. Если доля дана десятичным числом или процентом, её сначала можно записать в удобном виде.

По углу сектора долю находят делением угла на 360°. Например, угол 45° даёт долю 45/360 = 1/8. Значит, категория занимает одну восьмую всего круга, или 12,5%.

Для построения диаграммы сначала находят общее значение всех данных, затем вычисляют долю или угол каждой категории. После этого проводят круг, выбирают радиус-начало и транспортиром последовательно откладывают рассчитанные углы. Последний сектор должен замкнуть круг, поэтому порядок категорий можно выбрать так, чтобы чертить было удобнее.

Диаграмму читают по размерам секторов, их подписям и известному целому. Сравнивая углы или площади, определяют, какая категория больше или меньше. Если известно общее количество, долю сектора умножают на него и получают фактическое значение категории.

Круговая диаграмма: доля, угол и значение части

Таблица показывает, как связаны основные величины круговой диаграммы. Найдите в ней известное, затем используйте соответствующее правило вычисления. В последнем столбце указано, как результат связан с изображением сектора.

Разбор задач

Задача 1

В классе 30 учеников, из них 12 занимаются футболом. Нужно найти долю футболистов и угол соответствующего сектора. Сначала сравним число футболистов со всем количеством учеников.

1. Находим долю: 12/30 = 2/5.
2. Переводим долю в угол: 2/5 × 360° = 144°.
3. При необходимости долю записываем процентом: 2/5 = 40%.

Ответ: доля футболистов — 2/5, или 40%; угол сектора — 144°.

Задача 2

Сектор чтения имеет угол 72°, всего опрошено 250 человек. Сначала определим, какую долю круга составляет этот сектор, а затем найдём процент и количество людей. Угол уже дан, поэтому значение категории можно вычислить без дополнительных данных.

1. Находим долю: 72° : 360° = 1/5.
2. Переводим её в проценты: 1/5 = 20%.
3. Находим число предпочитающих чтение: 250 × 1/5 = 50.

Ответ: чтение предпочитают 20% опрошенных, то есть 50 человек.

Задача 3

Расходы семьи составляют: питание — 18 000 рублей, транспорт — 6 000 рублей, одежда — 9 000 рублей, прочие расходы — 12 000 рублей. Для построения диаграммы нужны общая сумма и угол каждого сектора. Округление не потребуется, так как все вычисления дают целые градусы.

1. Находим общую сумму: 18 000 + 6 000 + 9 000 + 12 000 = 45 000 рублей.
2. Питание: 18 000/45 000 = 2/5, угол 2/5 × 360° = 144°.
3. Транспорт: 6 000/45 000 = 2/15, угол 2/15 × 360° = 48°.
4. Одежда: 9 000/45 000 = 1/5, угол 1/5 × 360° = 72°.
5. Прочие расходы: 12 000/45 000 = 4/15, угол 4/15 × 360° = 96°.
6. Проверяем: 144° + 48° + 72° + 96° = 360°.

Ответ: сектора имеют углы 144°, 48°, 72° и 96° соответственно. Проведите круг и последовательно отложите эти углы транспортиром.

Типичные ошибки

Иногда полный круг считают равным 100° или смешивают проценты с градусами. Ошибка возникает потому, что и проценты, и градусы описывают целое, но разными единицами. Проверяйте себя: целому одновременно соответствуют 100%, 1 и 360°.

Нельзя автоматически делить 360° на число категорий. Это правило подходит только для равных частей, а реальные значения часто различаются. Сначала найдите долю каждой категории и лишь потом вычисляйте её угол.

Некоторые используют при вычислении угла само значение части, например 12 вместо 12/30. Так теряется связь с целым. Перед умножением на 360° убедитесь, что записано отношение «часть : целое».

Если не проверить результат, диаграмма может не замкнуться или показать не всё целое. Сложите все доли, проценты и углы: должны получиться 1, 100% и 360°. Несовпадение указывает на ошибку в вычислениях или округлении.

Связь с другими темами

Для работы с круговыми диаграммами нужно уметь находить долю числа, переводить обыкновенные дроби в проценты и обратно, складывать величины и выполнять действия с ними. При построении пригодится умение измерять и откладывать углы транспортиром.

Круговые диаграммы используют при анализе статистики и результатов опросов, изучении распределения расходов, состава населения и других данных. Они помогают увидеть соотношение частей целого быстрее, чем длинная таблица чисел.

Что запомнить

• Вся круговая диаграмма соответствует 100% и 360°.
• Сектор изображает отдельную часть целого.
• Угол сектора равен доле части, умноженной на 360°.
• Доля части равна отношению её значения к значению целого.
• Процент можно перевести в угол умножением на 3,6°.
• Сумма долей равна 1, сумма процентов — 100%, сумма углов — 360°.