Урок 9.Прямоугольный параллелепипед

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — многогранник, все грани которого являются прямоугольниками. Многогранником называют объёмную фигуру, поверхность которой состоит из плоских многоугольников. Это определение помогает отличить такую фигуру от плоского прямоугольника и узнать её по форме поверхностей.

Грань — прямоугольник, ограничивающий прямоугольный параллелепипед; у фигуры шесть граней. Грань — это целая плоская часть поверхности, а не только её контур. Понимание этого слова нужно, чтобы правильно описывать стороны коробки или считать поверхности фигуры.

Ребро — сторона грани; у прямоугольного параллелепипеда двенадцать рёбер. Оно представляет собой отрезок, по которому встречаются две грани. Рёбра помогают задавать размеры фигуры и показывают, как её грани соединены между собой.

Измерения прямоугольного параллелепипеда — длина, ширина и высота, задающие размеры его рёбер. Они соответствуют трём направлениям рёбер, выходящих из одной вершины. Эти измерения нужны, чтобы описывать форму фигуры и находить размеры её граней.

Как это устроено

Представьте, что несколько прямоугольников соединяют сторонами: каждая сторона, ставшая ребром, должна встретиться с соседней гранью. Если соединить их так, чтобы поверхность замкнулась, получится пространственная фигура без отверстий. У неё шесть граней: передняя и задняя, верхняя и нижняя, левая и правая. Их границы образуют 12 рёбер, а рёбра встречаются в 8 вершинах.

Противоположные грани равны, потому что каждая пара образует две стороны одной и той же объёмной формы: у них одинаковы соответствующие размеры. Например, передняя и задняя грани имеют одну длину и одну высоту. Рёбра, сходящиеся в одной вершине, образуют прямые углы: грани прямоугольные, а их соседние стороны перпендикулярны. Поэтому угол между такими рёбрами равен 90°.

Из одной вершины выходят три ребра, и их длины задают три измерения фигуры. Эти направления обычно называют длиной, шириной и высотой; какое из двух горизонтальных измерений назвать длиной, а какое шириной, зависит от того, как расположена фигура. Параллельные рёбра равны, потому что они соответствуют одной и той же стороне прямоугольных граней. Поэтому всего есть три группы рёбер одинаковой длины.

У куба все грани — равные квадраты, а у обычного прямоугольного параллелепипеда грани могут быть прямоугольниками с разными сторонами. У квадрата соседние стороны равны, поэтому в кубе совпадают все три измерения. Куб можно считать частным случаем прямоугольного параллелепипеда: его грани по-прежнему являются прямоугольниками, только каждый прямоугольник — квадрат.

На рисунке объёмную фигуру узнают по трём направлениям рёбер и соединённым между ними граням. Рёбра, обращённые к наблюдателю, обычно изображают сплошными линиями, а скрытые — пунктиром или не показывают. Невидимое ребро всё равно существует и участвует в образовании грани. Если мысленно проследить направления параллельных рёбер, легче увидеть объёмную форму и не принять рисунок за плоский набор прямоугольников.

Элементы и свойства прямоугольного параллелепипеда

Таблица помогает быстро проверить, все ли элементы учтены при описании фигуры. Если на рисунке видны не все грани или рёбра, количество всё равно берут из свойств целого параллелепипеда. Для определения размеров отдельных граней сопоставьте их стороны с двумя из трёх измерений.

Разбор задач

У прямоугольного параллелепипеда длина 6 см, ширина 3 см и высота 2 см. Сколько у него граней, рёбер и вершин? Здесь указаны размеры, но количество элементов от них не зависит. Нужно вспомнить устройство фигуры и учитывать также те части, которые могли бы быть скрыты на рисунке.

1. Определяем тип фигуры: это прямоугольный параллелепипед, поэтому используем его постоянные свойства.
2. Записываем количество граней: их шесть, поскольку есть три пары противоположных сторон.
3. Записываем количество рёбер и вершин: рёбер 12, а точек соединения рёбер — 8.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Длина, ширина и высота здесь не меняют количество элементов.

Длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, равны 4 см, 5 см и 7 см. Найдите длины всех рёбер фигуры. Эти три отрезка задают три измерения, а параллельные им рёбра имеют такую же длину. Значит, задача состоит не в поиске новых чисел, а в распределении известных значений по группам.

1. Разделяем рёбра на три направления: вдоль каждого измерения расположено по четыре параллельных ребра.
2. Для первого направления получаем четыре ребра длиной 4 см, для второго — четыре ребра длиной 5 см.
3. Для третьего направления получаем четыре ребра длиной 7 см; всего учтено 12 рёбер.

Ответ: четыре ребра имеют длину 4 см, четыре — 5 см и четыре — 7 см. Проверка: группы содержат 4 + 4 + 4 = 12 рёбер.

Дан прямоугольный параллелепипед с измерениями 8 см, 5 см и 3 см. Определите размеры каждой пары противоположных граней и объясните, почему площади в паре одинаковы. Каждая грань использует два измерения, а третье задаёт расстояние до противоположной грани. Поэтому следует составить три возможные пары сторон.

1. Сочетаем длину и ширину: получаем две грани размером 8 × 5 см.
2. Сочетаем длину и высоту: получаем две грани размером 8 × 3 см.
3. Сочетаем ширину и высоту: получаем две грани размером 5 × 3 см.
4. Для проверки площадей перемножаем стороны каждой грани: 8 × 5 = 40 см², 8 × 3 = 24 см², 5 × 3 = 15 см².

Ответ: пары имеют размеры 8 × 5 см, 8 × 3 см и 5 × 3 см. Их площади в каждой паре одинаковы, потому что противоположные грани равны и построены по одной и той же паре измерений.

Типичные ошибки

Ошибка — насчитать только четыре грани, потому что на рисунке видна лишь часть фигуры. Так происходит, когда изображение принимают за сам предмет и забывают о его обратной стороне. Проверьте себя: представьте ещё три грани сзади, снизу или с другой боковой стороны; у целой фигуры всегда три пары противоположных граней.

Ошибка — называть ребро гранью или грань ребром. Это часто случается, если не различать поверхность и её границу: ребро является отрезком, а грань — целым прямоугольником. Чтобы проверить ответ, спросите себя, можно ли закрасить названный элемент как область: грань можно, ребро — только обвести линией.

Ошибка — считать, что все рёбра параллелепипеда равны. Это верно для куба, но у прямоугольного параллелепипеда измерения могут быть разными. Равны только параллельные рёбра; проверьте их направления и распределите двенадцать рёбер на три группы по четыре.

Ошибка — считать куб и прямоугольный параллелепипед фигурами, не имеющими общих свойств. Иногда слово «прямоугольник» понимают слишком узко и не замечают, что квадрат является его частным случаем. У куба все грани — равные квадраты, то есть прямоугольники с одинаковыми сторонами; это позволяет рассматривать куб как особый параллелепипед.

Связь с другими темами

Для изучения фигуры нужны знания о прямоугольнике, его сторонах и прямых углах. Также полезно различать точку, отрезок и плоскую фигуру: так проще не путать вершину, ребро и грань. Эти понятия позволяют описывать объёмное тело через знакомые элементы плоской геометрии.

Измерения и грани пригодятся, когда будут изучаться объём и площадь поверхности объёмных тел. Размеры помогают понять, какие стороны участвуют в расчётах, а противоположные равные грани позволяют учитывать пары одинаковых поверхностей. Связь с черчением тоже важна: по развёртке можно представить, как прямоугольные грани соединяются и складываются в объёмную фигуру.

Что запомнить

• У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Каждая грань — прямоугольник.
• Противоположные грани равны.
• Параллельные рёбра равны.
• Три измерения — длина, ширина и высота.
• Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все грани являются равными квадратами.