"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Чтобы умножить двузначное число на однозначное, можно представить его как сумму десятков и единиц, умножить каждую часть и сложить результаты. Например, 24 · 3 = 20 · 3 + 4 · 3. Этот способ помогает понять, откуда берётся ответ, и не потерять значение разрядов. То же действие можно выполнить столбиком: начать с единиц, а при необходимости перенести десяток в следующий разряд.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Однозначное число — число, которое записывается одной цифрой, например 2 или 7. При умножении двузначного числа на однозначное такое число служит множителем: например, в записи 24 · 3 на 3 умножают число 24. Однозначный множитель показывает, сколько раз берётся двузначное число.
Двузначное число — число, которое записывается двумя цифрами. Первая цифра показывает число десятков, а вторая — число единиц: в числе 34 есть 3 десятка, то есть 30, и 4 единицы. Это различие нужно учитывать, чтобы не принять десятки за единицы.
Разрядные слагаемые — слагаемые, сумма которых равна исходному числу и каждое из которых показывает отдельный разряд. Например, 34 = 30 + 4: 30 отвечает за десятки, а 4 — за единицы. Такое представление позволяет умножать число по частям.
Умножение двузначного числа на однозначное — действие, которое можно выполнить, представив двузначное число суммой десятков и единиц. Например, 24 умножают как 20 · 3 и 4 · 3, а затем складывают результаты. Этот приём связывает письменное вычисление с разрядным составом числа.
Сначала двузначное число представляют суммой десятков и единиц: например, 24 = 20 + 4. Это полезно потому, что каждую часть легче умножить отдельно, а её значение при этом остаётся ясным: 20 — это два десятка, а не просто цифра 2. Затем результаты можно сложить, чтобы получить произведение всего числа.
Такой способ основан на распределительном свойстве умножения: сумму можно умножить на число, умножив на него каждое слагаемое и сложив произведения. Поэтому (20 + 4) · 3 = 20 · 3 + 4 · 3. Правило помогает не выполнять действие наугад: оно объясняет, почему умножение числа по частям даёт верный результат.
Если произведение единиц не образует дополнительного десятка, промежуточные результаты складываются по своим разрядам без переноса. Например, 23 · 2 = 20 · 2 + 3 · 2 = 40 + 6 = 46. Здесь 6 единиц остаются единицами, а 40 — четырьмя десятками, поэтому результат удобно прочитать как 4 десятка и 6 единиц.
Иногда при умножении единиц получается число больше девяти, и в нём есть десятки. Например, 8 · 6 = 48: это 4 десятка и 8 единиц. В ответ записывают 8 единиц, а 4 десятка добавляют к результату умножения десятков; иначе часть произведения потеряется. Так, в 48 · 6 эти 4 десятка нужно учесть вместе с 24 десятками, полученными при умножении 4 десятков на 6.
При записи столбиком разряды располагают один под другим, чтобы единицы и десятки не смешались. Умножение начинают с единиц, потому что именно здесь может появиться перенос в разряд десятков. Затем умножают десятки и прибавляют перенесённое число, если оно есть; такой порядок сохраняет правильное значение каждой цифры в ответе.
| Что рассматриваем | По разрядным слагаемым | Столбиком |
|---|---|---|
| Представление двузначного числа | Раскладываем на десятки и единицы, например 34 = 30 + 4. | Записываем числа одно под другим, разряды располагаем друг под другом. |
| Порядок вычислений | Умножаем каждое слагаемое, затем складываем произведения. | Умножаем сначала единицы, затем десятки. |
| Как учитываются десятки | Умножаем число десятков как десятки: 30 · 3 = 90. | Умножаем цифру десятков, сохраняя значение разряда. |
| Как учитывается переход через десяток | Складываем полные произведения, в том числе десятки из произведения единиц. | Десятки из произведения единиц переносим к десяткам. |
| Пример записи | 23 · 2 = 20 · 2 + 3 · 2 = 46. | 48 · 6: 8 · 6 = 48, переносим 4; 4 · 6 + 4 = 28, ответ 288. |
Сравнивай способы, чтобы понять, где именно учитываются десятки: при разложении они видны в слагаемых, а в столбике — в переносе. Для проверки сначала вычисли столбиком, а затем отдельно умножь десятки и единицы. Совпадение результатов подтверждает, что разряды учтены правильно.
Задача: вычисли 23 · 2. Здесь удобно разложить 23 на десятки и единицы, потому что для обеих частей известен результат умножения на 2. После сложения проверим, что десятки и единицы результата стоят на своих местах.
Ответ: 46. Разложение помогает увидеть, что мы умножили не только цифру единиц, но и всё число десятков.
Задача: вычисли 34 · 3. Проверим произведение по разрядам, чтобы заметить, возникнет ли перенос: если произведение единиц не больше 9, дополнительных десятков не появится. Сами десятки умножаем как число 30, а не как отдельную цифру 3.
Ответ: 102. Проверка показывает, что здесь переход через десяток есть: произведение 4 · 3 больше девяти.
Задача: вычисли столбиком 48 · 6 и проверь разложением числа 48. В столбике сначала умножают единицы: так можно сразу определить, сколько единиц записать и сколько десятков перенести. Затем сравним ответ с вычислением по разрядным слагаемым.
Ответ: 288. Оба способа дают одно и то же число, значит, перенос учтён верно.
Можно умножить только цифру единиц и забыть про десятки, например вычислить 34 · 3 как 4 · 3. Так случается, если воспринимать запись как набор отдельных цифр, а не как число. Проверь себя: разложи исходное число на десятки и единицы — у каждого слагаемого должен быть свой результат умножения.
Ещё одна ошибка — считать цифру десятков обычным количеством единиц: принять 3 десятка за 3. Причина в том, что в записи числа видна цифра 3, но её разряд задаёт значение 30. Чтобы проверить вычисление, прочитай число словами по разрядам и убедись, что в произведении десятков учтены десятки.
При умножении столбиком иногда забывают перенести десяток, полученный при умножении единиц. Тогда в ответе остаются только единицы этого промежуточного произведения, а часть результата исчезает. Записывай перенос над разрядом десятков и перед записью ответа проверь, прибавлен ли он к результату умножения десятков.
Промежуточные результаты можно сложить неверно или расположить не под теми разрядами. Это происходит, если не следить, где единицы, а где десятки. Сверь каждое слагаемое с его значением, выровняй записи по разрядам и проверь сумму обратным сложением.
Для этого приёма нужно уметь представлять двузначное число суммой десятков и единиц, а также знать таблицу умножения. Разложение опирается на десятичную систему счисления: положение цифры определяет её разрядное значение. Умножение частей объясняет распределительное свойство умножения, которое помогает выполнять действия с суммами.
Тот же принцип используется при письменном умножении многозначных чисел: число разбивают на разряды и учитывают каждый из них. Приём также помогает решать текстовые задачи на равные группы, например находить общее количество предметов, если в каждой группе их поровну.
Почему двузначное число сначала раскладывают на десятки и единицы?
Так видно, сколько в числе десятков и сколько единиц, и можно умножить каждую часть отдельно. Сложение полученных произведений даёт тот же результат, что и умножение всего числа.
Можно ли умножать двузначное число на однозначное сразу столбиком?
Да, можно, если ты умеешь выполнять умножение по разрядам и переносить десяток. Начинай с единиц, а затем умножай десятки.
Что делать, если при умножении единиц получается больше девяти?
Запиши в разряде единиц только единицы полученного произведения. Число десятков перенеси к результату умножения десятков.
Почему при умножении десятков к результату добавляют перенесённый десяток?
Перенесённый десяток появился при умножении единиц, но по значению он относится к разряду десятков. Поэтому его складывают с результатом умножения десятков.
Как проверить умножение двузначного числа на однозначное?
Разложи двузначное число на десятки и единицы, умножь каждое слагаемое и сложи произведения. Если ответ совпал с вычислением столбиком, проверка подтвердила результат.
Урок 10.Умножение двузначного числа на однозначные
