"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Метод приведения к единице помогает решать задачи, в которых известны значения нескольких одинаковых единиц, а нужно найти значение для другого количества. Сначала общее значение делят на число единиц и узнают, сколько приходится на одну. Затем результат используют, чтобы найти ответ для нужного количества. Такой порядок помогает не угадывать действия, а выбирать их по смыслу условия. Метод применяют в задачах о стоимости, производительности, скорости и расходе материалов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метод приведения к единице — способ решения задач, при котором сначала находят значение величины, соответствующее одной единице. Например, если известна стоимость нескольких одинаковых предметов, можно узнать цену одного предмета. Это промежуточное значение помогает перейти к количеству, которое спрашивают в задаче.
Единичное значение — результат деления известного общего значения на число единиц, к которым это значение относится. Так находят, например, цену одной вещи или количество деталей, изготовленных за один час. Понимание единичного значения помогает проверить, верно ли выбрано деление.
Величины — характеристики предметов или процессов, связанные в условии задачи, например число товаров и их стоимость или число работников и время работы. У каждой величины есть своё наименование и, часто, единица измерения. Это помогает не перепутать числа и понять, что именно нужно найти.
Зависимость величин — изменение одной величины при изменении другой, которое нужно учитывать при выборе действий. Например, при постоянной цене большее количество покупок увеличивает стоимость, а при постоянном объёме работы большее число работников сокращает время. Определение зависимости подсказывает, какое рассуждение подходит к задаче.
Сначала находят значение одной единицы, потому что в условии обычно дан итог сразу для нескольких единиц, а спрашивают другое количество. Общий итог сам по себе не показывает, сколько приходится на каждую единицу. Деление позволяет перейти от известного количества к простому ориентиру: значению для одной вещи, одного часа или одного работника за день. После этого проще связать известные данные с вопросом задачи.
Чтобы выбрать единицу, найди, что именно повторяется или учитывается в условии: предмет, час, станок, работник. Затем сопоставь с этой единицей известное общее значение и количество единиц, на которые оно приходится. Делить нужно именно это значение на это количество: например, стоимость нескольких одинаковых тетрадей — на число тетрадей. Если разделить не те величины, полученный результат будет иметь неподходящий смысл или наименование.
После единичного значения определяют, сколько получится для требуемого количества. При прямой зависимости значение одной единицы повторяется нужное число раз, поэтому его умножают на количество единиц: цена одной вещи умножается на число вещей. Так же можно найти выпуск нескольких станков за несколько часов, если известна выработка одного станка за час. Умножение здесь следует не из правила «всегда делай так», а из смысла: одинаковое значение складывается нужное число раз.
Краткая запись или таблица помогает расположить рядом величины, их единицы и известные значения. Например, в строках можно записать число тетрадей и стоимость, а отдельно отметить цену одной тетради. Так легче увидеть, что известно, что требуется найти и как связаны этапы решения. Записывай возле каждого действия его смысл: тогда вычисления не превращаются в набор случайных операций.
При прямой зависимости увеличение одной величины при прочих равных увеличивает другую, а уменьшение — уменьшает её. При обратной зависимости изменение происходит в противоположных направлениях: если ту же работу выполняют больше работников с одинаковой производительностью, дней потребуется меньше. Поэтому нельзя механически умножать единичное значение на число работников, когда спрашивают время. Сначала выясни, что остаётся постоянным и как изменение одной величины влияет на искомую.
| Этап решения | Что известно | Действие | Что получаем |
|---|---|---|---|
| Анализ условия | Связанные величины и известные значения | Определяем, что дано и что требуется | План решения и выбранную единицу |
| Нахождение значения одной единицы | Общее значение и число соответствующих единиц | Делим общее значение на число единиц | Единичное значение |
| Нахождение значения требуемого количества единиц | Единичное значение и нужное количество | Выбираем действие по зависимости величин | Искомое значение |
| Проверка ответа | Полученный результат и условие задачи | Сравниваем с ожидаемым смыслом | Проверенный ответ с наименованием |
Заполняй схему по порядку: сначала отдели известные данные от вопроса, затем найди значение одной единицы. На следующем этапе выбирай действие, учитывая, прямая или обратная зависимость связывает величины. В последней строке проверь не только вычисления, но и то, что ответ дан в нужных единицах.
Задача 1. За 4 одинаковые тетради заплатили 120 рублей. Сколько стоят 7 таких тетрадей? Нужно узнать сначала цену одной тетради, потому что общая стоимость относится сразу к четырём одинаковым предметам. Затем цену одной тетради можно повторить семь раз.
Ответ: 7 тетрадей стоят 210 рублей. Проверка: семь тетрадей должны стоить больше, чем четыре, и 210 рублей больше 120 рублей.
Задача 2. За 6 часов 3 одинаковых станка изготовили 360 деталей. Сколько деталей изготовят 5 таких станков за 4 часа? Здесь результат зависит и от числа станков, и от времени работы. Чтобы учесть оба условия, сначала узнаем выработку одного станка за один час, а затем увеличим её в соответствии с обоими числами.
Ответ: 5 станков за 4 часа изготовят 400 деталей. Проверка: станков больше, чем было, но часов меньше; полученное число соотносится с выработкой 20 деталей на станок за час.
Задача 3. 4 рабочих выполняют работу за 12 дней с одинаковой производительностью. За сколько дней выполнят ту же работу 6 рабочих? Здесь требуется найти не выпуск, а время. Сначала можно выразить всю работу в рабочих-днях: это количество дней, которое потребовалось бы одному рабочему, если бы он выполнял работу сам.
Ответ: 6 рабочих выполнят работу за 8 дней. Проверка: работников стало больше, поэтому на ту же работу нужно меньше времени; 8 дней меньше 12 дней.
Ученик сразу умножает или делит числа, не объяснив, что означает результат. Так бывает, когда действия выбирают по внешнему виду условия, а не по связи величин. Перед вычислением сформулируй вопрос: что именно я сейчас нахожу и в каких единицах будет ответ?
При поиске единичного значения иногда делят не ту величину или не на то количество единиц. Например, стоимость нескольких предметов нужно делить на число предметов, чтобы найти цену одного, а не на число рублей. Проверь, что частное отвечает на вопрос «сколько приходится на одну выбранную единицу?» и имеет подходящее наименование.
В задаче с обратной зависимостью можно рассуждать как при прямой: считать, что больше работников увеличит время работы. Эту ошибку допускают, если замечают числа, но не представляют, что происходит с работой. Проверь изменение при неизменном объёме работы: больше работников с той же производительностью должны затратить меньше дней.
Иногда ответ записывают без наименования или получают результат, противоречащий условию. Число без единицы измерения не сообщает, что найдено: дни, детали или рубли. Сравни результат с исходными данными и запиши полную фразу; если большее количество одинаковых товаров внезапно стоит дешевле, проверь действия.
Для решения таких задач нужны умения делить и умножать числа и величины, внимательно читать условие и составлять краткую запись. Краткая запись помогает увидеть, какие данные относятся друг к другу. Эти навыки нужны до начала решения, иначе можно перепутать единицы и смысл действий.
Метод применяется в задачах на пропорциональные величины: стоимость и количество товаров, производительность и время, скорость и расстояние, расход материалов и объём работы. В каждом случае сначала выясняют, к чему относится известное значение и как меняются величины. Поэтому один общий способ помогает разбирать разные жизненные ситуации.
Дальше этот подход пригодится при изучении отношений и пропорций, а также в более сложных текстовых задачах. Умение находить значение для одной единицы помогает переходить от частного случая к общему. При этом важно каждый раз проверять, какая зависимость задана и не меняются ли другие условия.
Почему нельзя сразу решить задачу одним действием?
Сразу объединить числа действием можно только тогда, когда ясно, что означает результат. Промежуточное значение для одной единицы показывает связь между величинами и помогает правильно перейти к нужному количеству.
Как понять, что именно нужно принять за единицу?
Посмотри, какое количество можно выделить в условии: одну тетрадь, один станок за час или одного рабочего за день. Единицу выбирают так, чтобы известное значение можно было разделить на соответствующее число таких единиц.
Всегда ли вторым действием нужно умножать?
Нет. При прямой зависимости единичное значение обычно умножают на нужное количество. При обратной зависимости может понадобиться деление или другое рассуждение: например, при большем числе работников время выполнения той же работы уменьшается.
Как отличить прямую зависимость от обратной?
Спроси себя, что произойдёт с одной величиной, если увеличить другую, а остальные условия оставить прежними. Если обе величины увеличиваются или обе уменьшаются, зависимость прямая; если одна увеличивается, а другая уменьшается, зависимость обратная.
Как проверить решение задачи методом приведения к единице?
Проверь, что делил известное значение на число тех же единиц, к которым оно относится, а затем использовал единичное значение для нужного количества. Оцени ответ по смыслу условия и запиши наименование величины.
Урок 11.Метод приведения к единице.
