Урок 13.Умножение числа 5. Деление на 5

Определения и обозначения

Умножение числа 5 — это сложение одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 5. Запись 5 · n означает, что число 5 взяли слагаемым n раз. Например, 5 · 3 = 5 + 5 + 5, поэтому такое действие помогает быстро заменить длинную запись сложения.

Произведение — результат умножения. В произведении 5 · n число 5 повторяется слагаемым n раз, а полученное число является ответом. Понимание этого смысла позволяет связать таблицу умножения с обычным сложением и не заучивать записи механически.

Деление на 5 — действие, обратное умножению на 5. Оно помогает узнать, сколько получилось равных групп по 5, или сколько предметов будет в одной группе. Поэтому выражение m : 5 можно понимать как поиск числа пятёрок в числе m.

Частное — результат деления. Если 5 · n = m, то из этого равенства следуют две записи: m : 5 = n и m : n = 5. Такие равенства нужны для проверки вычислений и для перехода от умножения к делению.

Как это устроено

Умножение на 5 заменяет повторное сложение пятёрок. Например, вместо 5 + 5 + 5 + 5 + 5 можно сразу записать 5 · 5. Это удобно, потому что одно действие короче нескольких сложений, а его смысл остаётся тем же: считается количество одинаковых групп. Чем больше групп, тем больше общее число.

Если последовательно умножать 5 на 1, 2, 3 и следующие числа, каждый раз добавляется ещё одна пятёрка. Поэтому после 5 · 1 = 5 получается 5 · 2 = 10, затем 15, 20 и так далее. Ряд 5, 10, 15, 20, 25 образуется не случайно: каждый следующий результат на 5 больше предыдущего. Это позволяет находить соседние значения, прибавляя 5.

Каждое равенство на умножение связывает сразу три числа. Из 5 · 6 = 30 можно получить 30 : 5 = 6, потому что нужно узнать число пятёрок, и 30 : 6 = 5, потому что нужно узнать размер одной группы. При перестановке множителей произведение не меняется, но смысл вопросов может быть разным. Так умножение и деление образуют связанные, обратные действия.

Чтобы разделить число на 5, удобно обратиться к таблице умножения. Нужно найти такое число, которое при умножении на 5 даёт делимое: для 45 это число 9, потому что 5 · 9 = 45. Значит, 45 : 5 = 9. Проверка выполняется обратным действием: частное 9 умножают на 5 и сравнивают с делимым.

У деления на 5 есть быстрый признак. Если число оканчивается цифрой 0 или 5, оно делится на 5 без остатка, потому что именно такими цифрами заканчиваются произведения в таблице умножения на 5. Например, 30 и 75 делятся на 5, а 32 и 47 — нет. Последняя цифра помогает быстро понять, возможен ли результат без остатка, но само частное можно найти по таблице.

Умножение на 5 и связанные случаи деления

В первом столбце удобно искать нужный случай умножения, а в третьем — связанное деление. Чтобы найти частное, найдите делимое в столбце результата и посмотрите на второй множитель. Полученный ответ можно проверить умножением.

Разбор задач

Вычислить: 5 · 4 и 5 + 5 + 5 + 5

В первом выражении число 5 умножают на 4, то есть берут четыре одинаковые пятёрки. Второе выражение уже показывает эти четыре пятёрки в виде суммы. Поэтому оба выражения должны иметь одинаковое значение.

1. Раскроем смысл умножения: 5 · 4 = 5 + 5 + 5 + 5.
2. Сложим слагаемые: 5 + 5 = 10, 10 + 5 = 15, 15 + 5 = 20.
3. Запишем результаты: 5 · 4 = 20 и 5 + 5 + 5 + 5 = 20.

Ответ: оба выражения равны 20. Умножение позволяет записать повторное сложение короче.

Решить: 35 : 5 и 5 · □ = 35

В обоих выражениях нужно найти одно и то же число — множитель или частное. Ищем в таблице произведение 35 и видим, что 5 · 7 = 35. Значит, число 7 подходит и для деления, и для пустого окошка.

1. Находим в таблице: 5 · 7 = 35.
2. Используем обратную связь: 35 : 5 = 7.
3. Подставляем число в равенство: 5 · 7 = 35.

Ответ: 35 : 5 = 7; в окошке должно стоять число 7. Проверка: 7 · 5 = 35.

В коробке 5 рядов по 4 карандаша. Сколько всего карандашей? Затем разложить их по 5 штук и определить число групп

В коробке пять одинаковых рядов, в каждом ряду по четыре карандаша. Общее количество найдём умножением числа рядов на количество карандашей в одном ряду. Затем полученное число разделим на 5, чтобы узнать количество групп по пять карандашей.

1. Находим общее число карандашей: 5 · 4 = 20.
2. Разделяем их на группы по 5: 20 : 5 = 4.
3. Проверяем результат: 5 · 4 = 20, значит, групп действительно четыре.

Ответ: всего 20 карандашей; при раскладывании по 5 получится 4 группы. Умножение и деление описывают одну и ту же ситуацию с разных сторон.

Типичные ошибки

Иногда путают смысл записи 5 · 3 и считают её просто как три пятёрки, не объясняя, что число 5 взяли слагаемым три раза. Такая ошибка появляется, если не связывать умножение со сложением. Проговорите: «три группы по пять» и запишите 5 + 5 + 5.

При делении на 5 некоторые ищут частное среди делимых или случайно выбирают число из таблицы. На самом деле нужно найти множитель, который вместе с 5 даёт делимое: для 35 это 7, потому что 5 · 7 = 35. Проверка умножением сразу показывает, верно ли выбран ответ.

Нельзя считать, что любое число разделится на 5 без остатка. Сначала посмотрите на последнюю цифру: для деления без остатка она должна быть 0 или 5. Если число оканчивается на 2, 3, 7 или другую цифру, кроме 0 и 5, результат без остатка невозможен.

Ещё одна ошибка — нарушение связи обратных действий, когда деление не проверяют умножением. После вычисления частного умножьте его на 5 и сравните с делимым. Например, для 40 : 5 = 8 проверка выглядит так: 8 · 5 = 40.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны смысл умножения и деления, таблица сложения, состав числа и представление об обратных действиях. Эти знания помогают понять, откуда берутся произведения и частные. Без них таблица на 5 превращается в набор несвязанных результатов.

Умножение и деление на 5 пригодятся в задачах на равные группы и при изучении деления с остатком. Позже эти действия будут использоваться в письменных вычислениях с многозначными числами. Умение проверять деление умножением сохранится и в более сложных заданиях.

Признак делимости на 5 помогает быстро распознавать числа, кратные 5. Он используется при устных вычислениях, проверке деления и выборе подходящего действия в задаче. Достаточно посмотреть на последнюю цифру числа.

Что запомнить

• Умножить число 5 на натуральное число — значит взять несколько пятёрок.
• При умножении на 5 произведения увеличиваются на 5.
• Деление на 5 является действием, обратным умножению на 5.
• Чтобы разделить число на 5, нужно найти множитель в таблице умножения на 5.
• Из равенства 5 · a = b следуют равенства b : 5 = a и b : a = 5.
• На 5 без остатка делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0 или 5.