Урок 9.Равносоставленные фигуры

Определения и обозначения

Разбиение фигуры — её разделение на конечное число частей без наложений и промежутков. Части должны полностью покрывать исходную фигуру, иначе при их сложении получится уже другая площадь. Это понятие нужно, чтобы точно описывать, как из частей можно собрать фигуру.

Равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разбить на конечное число попарно равных частей. «Попарно равные» означает, что каждой части первой фигуры соответствует равная ей часть второй. Такое определение помогает доказать связь между фигурами, даже если они выглядят по-разному.

Равновеликие фигуры — фигуры с равными площадями. Их форма может отличаться: например, длинный прямоугольник и более компактная фигура могут занимать одинаковую площадь. Понятие нужно, чтобы сравнивать, сколько места занимают фигуры, не требуя их совпадения.

Равные части при составлении можно перемещать, поворачивать и переворачивать, не изменяя их размеров. Поэтому одна и та же часть может занять другое место или быть обращена другой стороной. Это правило позволяет перестраивать фигуры и при этом сохранять площадь.

Как это устроено

Представим прямоугольник, разрезанный на несколько частей. Если одну часть перенести к другой стороне и уложить без промежутков, внешний контур может измениться, хотя сами части останутся прежними. Значит, фигура может принять другую форму благодаря перестановке частей, а не растяжению или сжатию. Так на простом примере видно, зачем нужно разбиение.

При разрезании фигуры её площадь становится суммой площадей полученных частей. Если части затем только перемещают, поворачивают или переворачивают, их размеры и площади не меняются. Поэтому сумма площадей частей остаётся прежней, а вместе с ней сохраняется и площадь всей составленной фигуры. Так объясняется, почему равносоставленные фигуры равновелики.

Рассуждение работает и в обратном направлении сравнения: если две фигуры составлены из одинакового набора попарно равных частей, то для обеих можно сложить площади соответствующих частей. Каждое слагаемое в одной сумме равно соответствующему слагаемому в другой. Следовательно, суммы и площади целых фигур равны независимо от того, где расположены части и как они повернуты.

Равносоставленность сообщает, как устроены фигуры из частей, а равновеликость говорит только о равенстве их площадей. Поэтому равносоставленность служит достаточным способом обосновать равновеликость, но сама по себе равновеликость не предъявляет разбиения. Чтобы доказать равносоставленность, необходимо показать сами части и установить, какие из них попарно равны.

Многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники. Если два многоугольника разбиты на попарно равные треугольники, площади многоугольников равны: площадь каждого равна сумме площадей его треугольников. Если же треугольники лишь имеют одинаковую форму, но отличаются размерами, этого вывода сделать нельзя. Такое разбиение помогает сравнивать площади и объяснять, из чего складывается площадь целой фигуры.

Сравнение фигур по форме, разбиению и площади

Пользуйся таблицей, чтобы понять, какое свойство нужно проверить в задаче: совпадение фигур, возможность разбиения или только равенство площадей. Равные фигуры и равносоставленные фигуры обязательно равновелики, но равновеликие фигуры не обязательно равносоставлены. Для доказательства равносоставленности недостаточно сравнить площади — нужно показать части.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что прямоугольник, разрезанный по диагонали, состоит из двух равных треугольников. Нужно сравнить треугольники, по разные стороны диагонали. Одного взгляда на рисунок недостаточно: докажем равенство по сторонам.

1. Обозначим стороны прямоугольника a и b, а диагональ — d. Диагональ является общей стороной обоих треугольников.
2. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому соответствующие стороны треугольников имеют длины a и b. Третья сторона у каждого треугольника равна d.
3. У треугольников равны все три соответствующие стороны. Значит, они равны по трём сторонам, независимо от того, как повернуты.

Ответ. Прямоугольник разделён диагональю на два равных треугольника. Вместе они без промежутков и наложений составляют исходный прямоугольник.

Задача 2. Объясните, как получить из параллелограмма равновеликий прямоугольник, отрезав треугольник у одного края и переставив его к другому. Чтобы получилась прямоугольная фигура, сначала проведём высоту к основанию от вершины у края. Разрез пройдёт по высоте, поэтому отрезанная часть будет треугольником.

1. Отрежем этот треугольник по высоте. Остальная часть параллелограмма имеет прямой угол у основания и верхней стороны.
2. Перенесём треугольник к противоположному краю и приложим его так, чтобы наклонная сторона продолжила прямую верхнюю или нижнюю границу. Получится прямоугольник с тем же основанием и той же высотой.
3. Проверим площадь: треугольник не изменился, его лишь переставили. Части составляют фигуру без наложений и промежутков, поэтому площадь прямоугольника равна площади параллелограмма.

Ответ. Перенос отрезанного треугольника превращает параллелограмм в равновеликий прямоугольник. Площадь сохраняется, потому что все исходные части остались на месте в составе новой фигуры.

Задача 3. Сравните площади двух многоугольников, если каждый разбивается на одни и те же по попарному равенству треугольники. Важно уточнить, что соответствуют друг другу все треугольники, а не только некоторые из них. Тогда можно сравнить суммы площадей частей.

1. Запишем площадь первого многоугольника как сумму площадей треугольников, на которые он разбит. Такое сложение возможно, поскольку части не перекрываются и заполняют всю фигуру.
2. Так же представим площадь второго многоугольника. Каждому треугольнику первого многоугольника соответствует равный ему треугольник второго, значит, площади каждой пары равны.
3. Сложим равные площади соответствующих частей. Получатся равные суммы, то есть площади двух многоугольников будут равны.

Ответ. Многоугольники равновелики. Если треугольники в двух разбиениях попарно равны, то их площади и суммы площадей совпадают.

Типичные ошибки

Считать фигуры равносоставленными только потому, что площади равны, — ошибка: равенство площадей не показывает разбиение. Её допускают, потому что путают результат сравнения с доказательством способа составления. Проверь себя: показаны ли части и соответствия между ними? Если нет, доказана только равновеликость.

Оставлять промежутки или допускать наложение частей нельзя: тогда они не составляют исходную фигуру точно. Такое случается при неаккуратном переносе или из-за того, что границы частей не проверены. Проверь себя, сопоставив контуры: вся фигура должна быть покрыта ровно один раз.

Сходство формы частей ещё не означает, что они равны: например, два треугольника могут быть похожи, но иметь разные размеры. Ошибку допускают, ориентируясь только на внешний вид или одинаковые углы. Проверь длины соответствующих сторон или используй подходящий признак равенства фигур.

Равносоставленные фигуры не обязательно равны: после перестановки частей внешний контур может измениться. Путаница возникает из-за близкого звучания слов «равные» и «равносоставленные». Проверь себя: если фигуры не совпадают по форме, но имеют разбиения на попарно равные части, они равносоставлены, а не равны.

Связь с другими темами

Для работы с разбиениями нужно уметь находить площади простых фигур и складывать площади частей: именно сумма даёт площадь целого. Понятие равносоставленности опирается на равные фигуры, а при разбиении многоугольников часто используют треугольники. Разбиения помогают доказывать равенство площадей и выводить формулы: сложную фигуру заменяют более простыми частями, площадь которых можно вычислить.

Что запомнить

• Равносоставленные фигуры разбиваются на попарно равные части.
• Части можно перемещать, поворачивать и переворачивать, не меняя их размеров.
• Равносоставленные фигуры равновелики.
• Равная площадь не означает одинаковую форму.
• Чтобы доказать равносоставленность, нужно указать разбиение и соответствие частей.
• Площадь многоугольника можно находить как сумму площадей его частей.