Урок 8.Равносоставленные фигуры

Определения и обозначения

Равносоставленные фигуры — это фигуры, которые можно разбить на конечное число частей так, чтобы части одной фигуры попарно совпадали при наложении с частями другой. Например, из одних и тех же треугольников можно составить разные многоугольники. Такое определение нужно, чтобы сравнивать фигуры не только по внешнему виду, но и по их составу.

Разбиение фигуры — представление её как объединения частей без наложений и промежутков. Иначе говоря, части должны точно заполнить всю исходную фигуру: каждая точка принадлежит фигуре, а ни одна часть не заходит поверх другой. Это условие позволяет считать площадь целого по площадям частей.

Равновеликие фигуры — фигуры, имеющие одинаковую площадь. Их форма и размеры отдельных сторон могут различаться: например, длинный прямоугольник и квадрат могут иметь равные площади. Понятие равновеликости нужно, чтобы сравнивать, сколько места занимают фигуры, не требуя их совпадения.

При разбиении на равные части соответствующие части должны попарно совпадать при наложении. Недостаточно, чтобы они просто напоминали друг друга: должны совпасть и форма, и размеры. Это требование даёт точное основание утверждать, что части имеют равные площади.

Как это устроено

Чтобы получить из одной фигуры другую, сначала проводят линии разреза и выделяют части, а затем мысленно или на чертеже переставляют их. Сами куски при этом не растягивают, не сгибают и не изменяют: разрешено только перемещение и поворот. Поэтому новая фигура может выглядеть иначе, хотя её состав остался прежним. Если части удалось точно сложить без щелей и наложений, перестановка действительно образует целую фигуру.

Площадь целого равна сумме площадей его частей, потому что разбиение не оставляет пустых мест и не считает одну и ту же область дважды. Если две фигуры составлены из попарно равных частей, то площади каждой соответствующей пары одинаковы. Складывая равные площади всех частей, получаем равные суммы, а значит, равные площади целых фигур. Это рассуждение работает независимо от того, насколько различается внешний вид фигур.

По чертежу сначала нужно найти такое разбиение, при котором части одной фигуры можно сопоставить с частями другой. Затем сравнивают каждую пару: проверяют совпадение формы и размеров наложением, измерением или известными свойствами фигур. Важно учесть все части, а не только несколько похожих фрагментов. Если хотя бы одной части не нашлось равной пары или разбиение оставило промежуток, доказательство не завершено.

Равносоставленность позволяет доказать равенство площадей, даже если целые фигуры нельзя совместить наложением. Достаточно обосновать, что их разбиения состоят из одинаковых по площади частей. Такой способ удобен, когда формулы для площади неприменимы напрямую или фигура имеет сложный контур. При этом нужно доказать именно равенство частей, а не ограничиться зрительным впечатлением.

Равносоставленность не означает равенство самих фигур. Равные фигуры целиком совмещаются при наложении, а равносоставленные могут совпадать только после разрезания и перестановки частей. Например, несколько треугольников можно сложить сначала в один многоугольник, а затем — в другой, с отличающейся формой. Следовательно, перестановка сохраняет части и площадь, но не обязана сохранять контур целого.

Сравнение фигур по форме и площади

Таблица помогает не смешивать совпадение целых фигур, наличие подходящих частей и равенство площади. Сравнивайте фигуры по каждому признаку отдельно: это разные свойства. В частности, одинаковая площадь не доказывает ни совпадение формы, ни существование подходящего разбиения.

Разбор задач

Задача 1

Квадрат со стороной 4 см разрезали на четыре равных квадрата. Составьте из этих частей прямоугольник и объясните, почему его площадь равна площади исходного квадрата. Сторона каждого маленького квадрата вдвое меньше стороны исходного, поэтому равна 2 см. Их можно выложить в ряд, получив прямоугольник размером 8 см на 2 см.

1. Проверим площадь исходного квадрата: 4 · 4 = 16 см².
2. Площадь каждой части равна 2 · 2 = 4 см², а площадь четырёх частей — 4 · 4 = 16 см².
3. При выкладывании в ряд части не меняют размеров и закрывают прямоугольник без промежутков. Его площадь также равна 8 · 2 = 16 см².

Ответ: можно составить прямоугольник со сторонами 8 см и 2 см, его площадь равна 16 см² — площади исходного квадрата. Причина равенства не в том, что квадрат и прямоугольник одинаковы по форме, а в том, что они составлены из одних и тех же частей.

Задача 2

Даны две фигуры на клетчатой бумаге. Нужно установить, равносоставлены ли они, разбив каждую на части и указав пары равных частей. Самого чертежа в условии нет, поэтому перечислить конкретные части невозможно. Решение состоит в проверке подходящего разбиения по клеткам и контурам фигур.

1. Проведём линии по клеткам так, чтобы обе фигуры распались на простые части, например треугольники и прямоугольники.
2. Для каждой части первой фигуры подберём часть второй и сравним их. Части должны совпадать при наложении; на клетчатой бумаге можно проверить длины сторон и число клеток.
3. Убедимся, что учтены все части и разбиения нигде не оставляют пустот и не создают наложений. Если пары найдены для всех частей, разбиения доказывают равносоставленность.

Ответ: фигуры равносоставлены, если удалось предъявить полные разбиения и сопоставить все части попарно. Без чертежа нельзя дать однозначное «да» или «нет», поэтому в реальной задаче проверяют именно указанные условия.

Задача 3

Докажите равенство площадей двух многоугольников: один составлен из прямоугольника и двух треугольников, другой — из тех же по размерам частей. Здесь слово «тех же» означает, что прямоугольнику первого многоугольника соответствует равный ему прямоугольник второго, а треугольникам — равные треугольники. Поэтому можно сравнить не контуры многоугольников, а площади их частей.

1. Обозначим площадь прямоугольника через S₁, а площади треугольников — через S₂ и S₃.
2. Площадь первого многоугольника равна S₁ + S₂ + S₃, потому что он состоит из этих частей без наложений.
3. У второго многоугольника соответствующие части равны, поэтому его площадь тоже равна S₁ + S₂ + S₃. Следовательно, площади многоугольников равны.

Ответ: площади равны по свойству сложения площадей. Если части расположены иначе, это не меняет сумму площадей, поскольку размеры соответствующих прямоугольника и треугольников не изменились.

Типичные ошибки

Ошибка — считать фигуры равносоставленными лишь из-за одинаковой площади. Равенство площади говорит только о величине поверхности, но не показывает, как фигуры разрезать на равные части. Так думают, потому что смешивают вывод о площадях с определением равносоставленности. Проверь себя: можешь ли ты явно показать разбиение и пары частей?

Ошибка — объявлять части равными только потому, что на рисунке они выглядят похоже. Чертёж может быть выполнен неточно, а небольшая разница в длинах или углах не всегда заметна. Сравнивай размеры и форму: равные части должны совпасть при наложении. Если доказать это нельзя, зрительного сходства недостаточно.

Ошибка — допускать при разбиении промежутки или наложения. Иногда части рисуют отдельно, не проверяя, полностью ли они закрывают исходную фигуру. Тогда сумма их площадей может не совпасть с площадью целого. Проверь границы: каждая область исходной фигуры должна войти ровно в одну часть.

Ошибка — путать равносоставленность с равенством фигур. При равенстве целые фигуры совпадают при наложении, а при равносоставленности совпасть могут только отдельные части после разрезания. Путаница возникает из-за общего слова «равные». Проверь себя: если части нужно передвигать, сравниваются составленные фигуры, и их формы могут различаться.

Связь с другими темами

Для работы с равносоставленностью нужно знать, что такое площадь и многоугольник, а также уметь распознавать равные фигуры. Равенство фигур проверяют наложением: если фигуры полностью совпали, совпадают их форма и размеры. Эти знания помогают находить равные части в разбиении и обосновывать, что сумма площадей частей одинакова.

Разбиение пригодится при выводе формул площадей: фигуру можно разделить на более простые, для которых площадь уже известна. Тем же способом находят площадь сложной фигуры, складывая площади составляющих её частей. Поэтому важно проследить, чтобы части полностью покрывали целое и не перекрывали друг друга.

Что запомнить

• Равносоставленные фигуры разбиваются на попарно равные части.
• Разбиение должно покрывать фигуру целиком, без наложений и промежутков.
• Части можно переставлять, не изменяя их форму и размеры.
• Равносоставленные фигуры имеют равные площади.
• Равные площади не означают, что фигуры равны или равносоставлены.
• Площадь целой фигуры равна сумме площадей её частей.