ЧИСЛА ОТ 1 ДО 100. ЧИСЛО 0. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 20

Определения и обозначения

Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Они помогают назвать количество и расположить предметы по порядку. Запись чисел от 1 до 100 нужна, чтобы точно сообщать, сколько предметов мы считаем. Число может быть записано одной или несколькими цифрами.

Число 0 обозначает отсутствие предметов или единиц. Его записывают знаком 0, но число и цифра — не одно и то же: цифра служит знаком для записи, а число выражает количество. Ноль нужен, чтобы показать отсутствие количества и сохранить правильное место разряда в записи числа. Например, 0 яблок означает, что яблок нет.

Десяток — это группа из десяти единиц. Объединяя единицы в десятки, легче считать большие количества и составлять двузначные числа. Например, три десятка и четыре единицы дают 34. Понимание десятков помогает читать и записывать числа, не пересчитывая каждую единицу отдельно.

Сложение и вычитание — действия, которые описывают изменение количества: при сложении количества объединяют, а при вычитании часть убирают или узнают, сколько осталось. Сложение обозначают знаком «+», вычитание — знаком «−». Запись 7 + 3 = 10 показывает объединение семи и трёх единиц, а 10 − 3 = 7 — уменьшение десяти на три. Эти знаки помогают коротко записывать вычисления.

Как это устроено

При счёте каждое следующее число на единицу больше предыдущего, потому что к уже посчитанным предметам добавляется ещё один. После 9 единиц появляется новый десяток: к девяти добавляем одну единицу и получаем 10. Дальше счёт продолжается: 11 — это десять и ещё одна единица, 12 — десять и две. Так образуются числа до 100: при накоплении десяти единиц снова получается следующий десяток.

Двузначное число записывают двумя цифрами, и место каждой цифры имеет значение. Левая цифра показывает, сколько в числе полных десятков, а правая — сколько осталось отдельных единиц. Поэтому 34 означает 3 десятка и 4 единицы, то есть 30 + 4. В числе 70 цифра 7 обозначает семь десятков, а на месте единиц стоит 0: отдельных единиц к этим десяткам не добавлено.

Ноль нужен не только для обозначения пустого количества, но и для точной записи числа. В числе 40 четыре десятка и ни одной единицы, поэтому ноль занимает место единиц; без него запись означала бы уже другое число. В вычислениях ноль не увеличивает и не уменьшает количество: 6 + 0 = 6, потому что ничего не добавили, а 6 − 0 = 6, потому что ничего не убрали. Значит, действие с нулём можно понять по тому, как оно меняет количество.

При сложении и вычитании в пределах 20 удобно опираться на состав чисел — способы представить число как сумму частей. Например, 9 можно представить как 5 + 4, а 7 — как 1 + 6. Если сложение или вычитание не получается сразу, число раскладывают на удобные части и выполняют действие по шагам. Связь действий помогает проверить ответ: если 13 − 5 = 8, то 8 + 5 должно дать 13.

Переход через десяток возникает, когда при сложении число становится больше 10 или при вычитании приходится пересечь границу десятка. Чтобы вычислить 8 + 5, число 5 разбивают на 2 и 3: сначала 8 + 2 = 10, затем 10 + 3 = 13. Для 13 − 5 удобно сначала убрать 3 и получить 10, а потом убрать оставшиеся 2: 10 − 2 = 8. Такой способ работает, потому что десяток — удобная промежуточная точка счёта.

Числа и вычисления в пределах 20

Сначала найди в таблице нужную ситуацию, затем прочитай объяснение и сравни его с примером. При вычислении попробуй назвать части числа вслух: это поможет увидеть, откуда берётся переход к десятку. Если пример не подходит к готовой строке, разложи числа на десятки и единицы или на удобные слагаемые.

Разбор задач

Задача 1. Запиши число, в котором 5 десятков и 3 единицы, и назови число десятков и единиц в нём. Нужно составить число из двух разрядов: десятков и единиц. Поскольку десятки стоят слева, а единицы справа, порядок цифр заранее известен. Проверим, что запись соответствует указанному количеству.

1. Записываем цифру 5 на месте десятков, потому что даны пять десятков.
2. Справа ставим цифру 3: она обозначает три отдельные единицы. Получаем число 53, то есть 50 + 3.
3. Сверяем разрядный состав: в числе 53 пять десятков и три единицы, как и требовалось.

Ответ: 53; в нём 5 десятков и 3 единицы.

Задача 2. Вычисли 8 + 5, представив число 5 как 2 + 3. Чтобы не пересчитывать все единицы заново, сначала удобно довести 8 до круглого десятка. Для этого из пяти единиц выделяем две: восьми не хватает именно двух до 10. После получения десятка прибавляем оставшуюся часть.

1. Разлагаем второе слагаемое по условию: 5 = 2 + 3.
2. Сначала прибавляем 2 к 8: 8 + 2 = 10. Так мы дошли до десятка, не изменив общего количества.
3. Прибавляем оставшиеся 3: 10 + 3 = 13. Значит, сумма исходных чисел равна 13.

Ответ: 13.

Задача 3. У Маши было 14 карандашей. Она отдала 6, а потом получила 3. Сначала карандашей стало меньше, потому что часть отдали, а затем количество увеличилось. Поэтому важно выполнить действия в том порядке, в котором происходили события. После каждого шага проверяем, какое количество получилось.

1. После того как Маша отдала 6 карандашей, у неё осталось 14 − 6 = 8. Вычитание описывает уменьшение количества.
2. Затем Маша получила ещё 3 карандаша, поэтому к оставшимся восьми прибавляем три: 8 + 3 = 11.
3. Проверяем смысл: итог меньше начальных 14 на 3, потому что отдала 6, но получила обратно 3. Это согласуется с вычислением 14 − 6 + 3 = 11.

Ответ: у Маши стало 11 карандашей.

Типичные ошибки

Путать число и цифру — значит называть запись из двух знаков одной цифрой. Так ошибаются, потому что в обычной речи эти слова иногда используют неточно. Проверь себя: число 47 обозначает количество, а цифры 4 и 7 — знаки, которыми оно записано. Если в числе несколько разрядов, для его записи нужны несколько цифр.

В числе 40 можно ошибочно решить, что ноль означает отсутствие десятков. Это происходит, если читать цифры без учёта их места. Проверь разряды: цифра 4 стоит слева и показывает четыре десятка, а 0 справа сообщает, что отдельных единиц нет. Значит, 40 — это четыре десятка, а не ноль десятков.

При счёте и сложении иногда пропускают число на границе десятка, например после 9 сразу называют 11. Такое случается, если считать слишком быстро или не представить, что к девяти единицам добавилась ещё одна. Проверь последовательность: 8, 9, 10, 11. Можно пересчитать предметы по одному или разложить слагаемое так, чтобы сначала получить 10.

При вычитании нельзя менять порядок действий или без объяснения вычитать большее число из меньшего. Ошибка возникает, когда ученик не связывает вычисление с начальным количеством и тем, сколько убрали. Проверь, какое число было сначала и какое количество убрали; остаток не должен быть больше начального количества. Для проверки прибавь вычитаемое к ответу: должна получиться исходная величина.

Связь с другими темами

Для этой темы уже нужны умение считать предметы и сравнивать количества. Также полезно уметь прибавлять и вычитать единицу: так можно объяснить, почему при счёте каждое следующее число увеличивается на один. Эти навыки помогают не пропускать числа и находить соседние числа.

Состав чисел и представление о десятке пригодятся, когда нужно складывать и вычитать двузначные числа. Разложение на десятки и единицы помогает увидеть, из каких частей состоит число. А разбиение числа на удобные слагаемые помогает перейти через десяток при вычислениях.

Сложение и вычитание связаны между собой, поэтому одно действие можно использовать для проверки другого. Это полезно не только в примерах, но и в текстовых задачах: действия выбирают по тому, как меняется количество. Если предметы добавили, количество увеличилось; если часть убрали — уменьшилось.

Что запомнить

• Двузначное число состоит из десятков и единиц.
• В записи числа цифра слева обозначает десятки, а справа — единицы.
• Число 0 обозначает отсутствие предметов или единиц.
• При сложении нуля число не меняется.
• При вычитании нуля число не меняется.
• Для вычислений с переходом через десяток удобно сначала дополнить число до 10.
• Вычитание можно проверить сложением.