"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Маршрут — это путь от начальной точки к конечной, состоящий из отдельных участков. Его изображают на схеме или задают последовательностью направлений и точек. Чтобы найти длину маршрута, складывают длины всех пройденных участков, даже если путь поворачивает. Если между пунктами есть несколько вариантов, вычисляют длину каждого и сравнивают результаты. Так можно определить кратчайший путь и точно описать, как по нему пройти.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Маршрут — последовательность участков пути, по которым можно пройти от начальной точки к конечной. На схеме участки обычно изображают линиями, а точки их соединения обозначают буквами или другими знаками. Чтобы не сбиться, прослеживай путь по соединённым линиям в нужном порядке. Это помогает понять, какие именно отрезки нужно учитывать.
Начальная и конечная точки маршрута — места, откуда движение начинается и где заканчивается. На схеме их часто обозначают буквами A и B или словами «старт» и «финиш». Сначала найди эти обозначения: тогда будет ясно, откуда начинать движение и где остановиться. Если перепутать точки, можно пройти тот же путь в другом направлении или выбрать не тот маршрут.
Длина маршрута — сумма длин всех участков, из которых он состоит. Например, если путь проходит по отрезкам длиной 4 см, 3 см и 5 см, его длина равна 4 + 3 + 5 = 12 см. Сложение подходит и для ломаного пути, потому что его общая длина складывается из длин отдельных звеньев. Так можно найти расстояние, которое предстоит пройти по выбранному маршруту.
Кратчайший маршрут — маршрут наименьшей длины среди возможных путей между заданными точками. Чтобы его определить, нужно сравнить общие длины вариантов, а не только число поворотов или участков. Этот термин помогает выбрать путь, который требует пройти меньшее расстояние. Если длины двух маршрутов равны, оба являются кратчайшими.
Чтобы читать схему маршрута, сначала найди начальную и конечную точки: они задают границы пути. Затем посмотри, какие линии соединяют эти точки напрямую или через промежуточные обозначения. Переход возможен только между соединёнными участками, поэтому нельзя перескакивать через разрыв или выбирать линию, которая не входит в заданный путь. Проследи маршрут от начала до конца, отмечая каждый участок по порядку.
Длина всего маршрута находится сложением, потому что путь состоит из отдельных участков, каждый из которых имеет свою длину. Представь, что ты прошёл первый отрезок, затем второй и так далее: общее расстояние складывается из пройденных отрезков. Поворот меняет направление движения, но не создаёт дополнительного участка сам по себе. Поэтому при подсчёте учитывают длины линий, а не углы между ними.
Если между двумя точками есть несколько маршрутов, сравнивают их общие длины. Сначала для каждого варианта отдельно прослеживают последовательность участков, затем складывают их длины. После этого сопоставляют полученные числа: меньшая сумма означает более короткий путь. Такой порядок нужен, потому что маршрут с меньшим числом отрезков не обязательно короче: сами отрезки могут иметь разную длину.
На клетчатой схеме, где ходить разрешено только по линиям сетки, каждый шаг по горизонтали или вертикали имеет одинаковую длину. Поэтому можно посчитать горизонтальные шаги, отдельно посчитать вертикальные и сложить результаты. Например, 4 шага вправо и 3 шага вверх дают 4 + 3 = 7 шагов. Этот подсчёт верен для пути, который идёт по линиям клеток; диагональный переход нельзя считать одним обычным шагом.
Маршрут можно записать так, чтобы другой человек смог пройти его без рисунка. Если точки обозначены буквами, перечисли их в порядке движения, например A–C–D–B. На клетчатой схеме можно указать направления и количество шагов: «3 клетки вправо, 2 вверх». Такая запись сохраняет последовательность действий; передавая её, укажи также, откуда начинается движение, иначе направления можно понять неверно.
Таблица помогает проверить, что при описании пути не забыты его начало, конец, участки и длина. Заполняй её по схеме: сначала установи точки, затем перечисли отрезки, входящие в маршрут, и выполни сложение. Для поиска кратчайшего пути сравни длины всех рассматриваемых вариантов.
| Что рассматриваем | Что указать или сделать |
|---|---|
| Начальная точка | Обозначить место, откуда начинается движение. |
| Конечная точка | Обозначить место, где движение заканчивается. |
| Участки маршрута | Перечислить соединённые отрезки по порядку. |
| Длина маршрута | Сложить длины всех его участков. |
| Кратчайший маршрут | Сравнить общие длины возможных путей и выбрать наименьшую. |
По схеме нужно пройти от A до B по маршруту A–C–D–B. Длины участков AC, CD и DB равны соответственно 4 см, 3 см и 5 см. Найдём длину пути. Важно не прибавлять длины других линий схемы, если они не входят в указанную последовательность.
Ответ: длина маршрута равна 12 см. Поворот в точке C или D отдельной длины не имеет. Проверить решение можно, отметив на схеме все три учтённых отрезка.
На клетчатой сетке нужно найти длину маршрута из A в B, двигаясь только по линиям. От точки A до точки B путь проходит 4 клетки вправо и 3 клетки вверх. Считаем длину в шагах сетки, принимая один переход между соседними узлами за один шаг. Направления удобны тем, что позволяют не пересчитывать маршрут целиком.
Ответ: длина маршрута равна 7 шагам сетки. Поворот между движением вправо и вверх в подсчёт не входит. Если длина стороны клетки известна, число шагов можно умножить на эту длину и получить расстояние в сантиметрах или другой единице.
Между A и B есть два маршрута. Первый состоит из участков длиной 4 м и 7 м, а второй — из участков длиной 6 м и 6 м. Определим, какой путь короче, не ориентируясь на число отрезков: оно одинаково, но их длины различаются. Для честного сравнения сначала вычислим полную длину каждого варианта.
Ответ: кратчайший маршрут — первый, его длина равна 11 м. Проверяем, что сложены только участки каждого из двух путей. Если на схеме есть и другие варианты, их тоже нужно вычислить, прежде чем утверждать, что найден самый короткий маршрут.
Можно пропустить один из участков, если следить только за направлением движения и не отмечать пройденные линии. Такая ошибка часто возникает в местах соединения нескольких отрезков, где взгляд легко перескакивает на соседнюю ветку. Проверяй себя, проводя пальцем или карандашом от начала к концу и отмечая каждый участок ровно один раз. Затем сверь отметки с последовательностью маршрута.
Иногда складывают длины всех линий на схеме, включая те, которые не входят в заданный путь. Это происходит, когда маршрут не прослеживают заранее, а сразу начинают считать числа. Сначала выпиши точки и участки в нужном порядке, а потом выполняй сложение. Для проверки спроси себя, можно ли пройти по каждому выбранному отрезку от начальной точки до конечной без перехода на постороннюю линию.
На клетчатой сетке поворот могут ошибочно посчитать отдельным шагом. Вероятная причина — смешение движения с изменением направления: поворот заметен, но расстояние возникает только при переходе на соседний узел. Проверяй подсчёт, считая линии между клетками по горизонтали и вертикали и не прибавляя повороты. Если на месте поворота нет пройденного отрезка, его длина не добавляется.
Нельзя называть путь кратчайшим, не сравнив его с альтернативами. Иногда маршрут кажется короче из-за меньшего числа поворотов или участков, но отдельные участки могут быть длиннее. Найди общую длину каждого возможного пути и сопоставь суммы. Проверка проста: у выбранного маршрута результат должен быть не больше длины любого другого рассмотренного маршрута.
Для решения задач о маршрутах нужны умение складывать натуральные числа и знание того, как находить длину ломаной по длинам её звеньев. Ломаная — это линия из последовательно соединённых отрезков, поэтому расчёт её длины помогает понять сложение участков пути. Эти навыки позволяют перейти от схемы к числовому ответу и не потерять отдельные части маршрута. Они пригодятся и при проверке результата.
Маршруты встречаются в планах помещений, на картах и в схемах движения: везде нужно понимать, как соединены пункты и куда ведут пути. Сравнение вариантов связано с выбором оптимального пути, то есть наиболее подходящего по заданному условию. В дальнейших задачах это поможет находить расстояние между объектами и выбирать дорогу с наименьшей длиной. При этом всегда нужно учитывать правила движения, заданные в условии.
Что именно называют маршрутом?
Маршрут — это последовательность соединённых участков пути от начальной точки до конечной. Его можно показать на схеме или записать, указав направления либо точки по порядку.
Как найти длину маршрута, если он состоит из нескольких участков?
Сначала проследи путь от начальной точки до конечной и выпиши длины только его участков. Затем сложи эти длины: полученная сумма и будет длиной маршрута.
Как записать маршрут по схеме?
Запиши точки, через которые проходит путь, в том порядке, в каком они встречаются, например A–C–D–B. Если точек на схеме нет, можно перечислить направления и число шагов.
Как определить кратчайший путь между двумя точками?
Найди длины возможных путей между этими точками, сложив длины участков каждого пути. Кратчайшим будет маршрут с наименьшей общей длиной.
Нужно ли учитывать повороты при подсчёте длины маршрута?
Повороты сами по себе длины не добавляют. Учитывают только пройденные участки: на клетчатой сетке, например, считают шаги по горизонтали и вертикали.
Урок 10. Маршруты
