Урок 9. Что сначала? Что потом?

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел, знаков действий и, возможно, скобок, значение которой можно найти. Например, в записи 8 + 3 · 2 есть числа, сложение и умножение. Понятие нужно, чтобы отличать саму запись от результата её вычисления.

Порядок действий — установленная очерёдность выполнения действий в выражении. Он нужен, чтобы разные люди, вычисляя одну и ту же запись, получили одинаковый результат. Благодаря общему правилу не приходится угадывать, какое действие выбрать первым.

Скобки — знаки, которые показывают, какие действия нужно выполнить прежде остальных. Например, в выражении 5 · (2 + 3) сначала складывают числа внутри скобок. Скобки помогают задать нужную очередность и могут изменить значение выражения.

Действия одной ступени — сложение и вычитание, а также умножение и деление; действия каждой пары выполняют слева направо. Так, в выражении 20 : 5 · 2 сначала выполняют деление, а затем умножение. Это правило нужно, потому что деление и умножение имеют одинаковый приоритет, как и сложение с вычитанием.

Как это устроено

Если выполнять все действия в том порядке, в каком они встречаются, результат может оказаться неверным. Например, в записи 8 + 3 · 2 умножение относится к числам 3 и 2, а сложение выполняется после него: получается 14. Если сначала сложить 8 и 3, выйдет 22, то есть другая величина. Общий порядок действий делает запись однозначной и позволяет правильно понять, какие числа участвуют в каждом действии.

Скобки показывают, какое действие нужно выполнить раньше остальных, поэтому сначала находят значение выражения внутри них. Если в скобках несколько действий, там действуют те же правила: умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, а действия одной ступени — слева направо. После вычисления скобок их можно заменить полученным числом и продолжить работу с оставшейся частью выражения. Так сложное вычисление постепенно превращается в более простое.

Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что этот порядок задаёт единое значение записи без скобок. Например, в выражении 6 + 4 · 3 сначала находят произведение 4 · 3, а потом прибавляют 6. Если сначала сложить 6 и 4, получится уже другое выражение — для этого понадобились бы скобки: (6 + 4) · 3. Значит, именно скобки нужны, чтобы явно изменить привычную очерёдность.

Умножение и деление имеют одинаковую ступень, поэтому нельзя считать, что одно из них всегда выполняется раньше другого. В выражении 36 : 6 · 2 сначала выполняют деление, потому что оно записано левее, а затем умножают результат на 2. Если начать с умножения 6 · 2, получится 36 : 12, то есть иной результат. Такой же принцип действует для сложения и вычитания: внутри своей ступени каждое действие выполняют слева направо.

В длинном выражении полезно до вычислений отметить, какие действия будут первыми, вторыми и следующими. Сначала находят действия в скобках, затем без скобок отмечают умножение и деление слева направо, а после — сложение и вычитание в том же направлении. После каждого шага записывают промежуточное выражение, заменяя выполненное действие его результатом. Это помогает не пропустить действие и заметить ошибку до получения окончательного ответа.

Порядок выполнения действий в выражении

Сначала найди в выражении скобки и вычисли их, соблюдая порядок действий внутри. Затем выполняй умножение и деление слева направо, а в конце — сложение и вычитание в том же направлении. Если скобок нет, начинай сразу с действий более высокой ступени.

Разбор задач

Задача 1

Найти значение выражения 18 − 6 + 4. Здесь есть только вычитание и сложение, а это действия одной ступени. Поэтому нельзя выбирать их по тому, какое действие привычнее: начинаем с действия, стоящего левее, и затем переходим к следующему.

1. Сначала выполняем вычитание слева: 18 − 6 = 12. Запись становится такой: 12 + 4.
2. Выполняем оставшееся сложение: 12 + 4 = 16.

Ответ: 16.

Задача 2

Найти значение выражения 24 − 3 · 5 + 8. Здесь умножение соседствует со сложением и вычитанием, поэтому первым будет не левое действие, а умножение. После него останутся только действия одной ступени, и их нужно будет выполнить слева направо.

1. Выполняем умножение: 3 · 5 = 15. Получаем выражение 24 − 15 + 8.
2. Выполняем вычитание слева: 24 − 15 = 9. Теперь осталось 9 + 8.
3. Складываем: 9 + 8 = 17.

Ответ: 17.

Задача 3

Найти значение выражения 48 : (7 + 5) · 2 − 3. Сначала нужно вычислить скобки, потому что они задают приоритет. После этого деление и умножение будут на одной ступени, значит, выполняем их слева направо, а вычитание оставляем на конец.

1. Вычисляем сумму в скобках: 7 + 5 = 12. Получаем 48 : 12 · 2 − 3.
2. Выполняем деление, стоящее левее умножения: 48 : 12 = 4. Теперь имеем 4 · 2 − 3.
3. Выполняем умножение: 4 · 2 = 8. Затем вычитаем: 8 − 3 = 5.

Ответ: 5.

Типичные ошибки

Ошибка — выполнять все действия слева направо, не учитывая, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Так можно поступить, потому что взгляд часто цепляется за первое действие в записи. Проверь себя: сначала найди все умножения и деления вне скобок и выполни их, а уже затем переходи к сложению и вычитанию.

Некоторые считают, что деление всегда нужно выполнять раньше умножения или, наоборот, умножение раньше деления. Так кажется, будто у каждого знака есть собственная ступень. Но эти действия равноправны: посмотри, какое из них стоит левее, и вычисляй первым именно его.

Можно пропустить скобки и начать выполнять действие, которое стоит снаружи. Такое случается, когда скобки воспринимают как украшение записи, а не как указание на очередность. Перед вычислением проверь, есть ли скобки; если есть, начни с действий внутри них.

Ещё одна ошибка — менять порядок действий, рассчитывая, что значение не изменится. Например, перестановка умножения и деления в выражении может привести к другому ответу. Сверь очередность с правилами и не переставляй действия без скобок, которые обосновывают такой порядок; затем проверь каждый промежуточный результат.

Связь с другими темами

Для работы с порядком действий нужно знать, что означают сложение, вычитание, умножение и деление, и уметь выполнять их с натуральными числами. Если вычисления отдельных действий вызывают затруднение, сначала стоит потренироваться на них отдельно, а затем возвращаться к выражению целиком. Правила очередности позволяют объединить знакомые действия в одну запись и получить её значение.

Порядок действий нужен каждый раз, когда приходится вычислять числовое выражение, особенно если в нём много знаков и скобок. Он также пригодится при изучении выражений с буквами: вместо чисел там могут стоять переменные, но правила вычислений сохраняются. Умение следовать очередности помогает не путать саму запись с отдельными вычислениями и проверять решение по шагам.

Что запомнить

• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• Скобки могут изменить обычный порядок действий.
• Перед вычислением сложного выражения полезно отметить очередность действий.
• Соблюдение порядка действий необходимо для получения правильного значения выражения.