"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Числовые выражения помогают записывать вычисления коротко и понятно: в них числа соединены знаками арифметических действий, а иногда дополнены скобками. Чтобы найти значение такого выражения, недостаточно просто считать по порядку записи: нужно учитывать скобки и приоритет действий. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковый приоритет, их выполняют слева направо.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и, при необходимости, скобок. Например, 8 + 3 · 2 — числовое выражение, потому что в нём записаны числа и действия. Это понятие помогает отличить саму запись от результата вычислений и увидеть, какие действия предстоит выполнить.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 8 + 3 · 2 равно 14, если соблюдать установленный порядок вычислений. Это слово нужно, чтобы точно назвать итог вычисления, а не промежуточный результат или саму запись.
Порядок действий — правило, определяющее, в какой последовательности выполняют вычисления в примере. По нему решают, какое действие делать первым, даже если оно стоит не в начале записи. Это правило позволяет всем получить один и тот же результат и избежать неоднозначности.
Скобки — знаки, указывающие, какие действия нужно выполнить прежде остальных. Например, в записи 8 · (3 + 2) сначала находят сумму 3 + 2. Скобки нужны, чтобы выделить часть выражения и задать для неё особый приоритет.
Чтобы определить, какие действия выполняются в примере, найди все знаки между числами. Знак + указывает на сложение, − — на вычитание, · — на умножение, а : — на деление. Посмотри также, есть ли скобки: сама запись уже подсказывает, какие вычисления нужно сделать, но для правильного ответа важно расставить их по порядку.
Если в выражении есть только сложение и вычитание, действия выполняют слева направо. Эти действия имеют одинаковый приоритет, поэтому ни одно из них не нужно выполнять раньше только из-за его названия или знака. Например, в 47 + 28 − 15 сначала складывают первые два числа, а затем вычитают 15.
Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Это соглашение делает запись компактной: умножение можно использовать внутри суммы, не заключая каждый такой фрагмент в скобки. Если считать строго слева направо, не учитывая этот приоритет, получится другое значение, поэтому сначала находят произведения и частные.
Скобки меняют привычную последовательность действий: выражение внутри них вычисляют прежде действий снаружи. Так можно, например, указать, что сначала нужно сложить числа, а уже затем умножить полученную сумму. Если внутри скобок несколько действий, для них тоже применяют правила порядка действий; после вычисления скобок результат используют в оставшейся части выражения.
Вычисляй по одному действию и записывай промежуточный результат вместо выполненной части выражения. Так легче заметить, что уже посчитано, и сохранить знаки операций, которые ещё остались. В конце проверь порядок действий и отдельно пересчитай каждое действие: это помогает найти ошибку и в последовательности, и в арифметике.
| Элемент выражения | Когда выполняется | Пример записи | Что получить |
|---|---|---|---|
| Действия в скобках | Прежде действий за скобками | 72 − (18 + 24) | Сначала значение выражения в скобках |
| Умножение и деление | После скобок, раньше сложения и вычитания | 96 : 4; 7 · 3 | Частное или произведение |
| Сложение и вычитание | После действий более высокого приоритета | 47 + 28 − 15 | Сумму или разность |
| Действия одного порядка | Слева направо | 47 + 28 − 15 | Последовательный результат |
| Промежуточный результат | После каждого выполненного действия | 47 + 28 = 75 | Число для следующего шага |
Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь скобки, затем найди умножение и деление, а потом выполни сложение и вычитание. Если действий одного порядка несколько, двигайся слева направо. Промежуточное число подставляй вместо уже вычисленной части, не меняя оставшиеся знаки.
Задача 1. Вычислить: 47 + 28 − 15. Здесь есть сложение и вычитание, у них одинаковый приоритет. Значит, вычисления нужно вести слева направо, сохраняя знак действия, который остаётся после каждого шага.
Ответ: 60. Такой порядок позволяет не перепутать выражение с другим примером, в котором скобки могли бы изменить последовательность.
Задача 2. Вычислить: 72 − (18 + 24). Скобки показывают, что сначала нужно найти сумму 18 и 24. Только после этого можно вычитать полученное число из 72. Поэтому не начинаем с вычитания, хотя оно записано первым.
Ответ: 30. Для проверки можно сложить разность и вычитаемое: 30 + 42 = 72. Проверка подтверждает, что вычитание выполнено верно.
Задача 3. Вычислить: 96 : 4 + 7 · 3 − 10. В записи есть деление, умножение, сложение и вычитание, поэтому считать просто слева направо нельзя. Сначала выполним деление и умножение, так как они имеют более высокий приоритет. Затем останутся сложение и вычитание одного порядка.
Ответ: 35. Проверь, что оба действия высокого приоритета выполнены до сложения и вычитания. Затем можно пересчитать сумму и разность отдельно, чтобы убедиться в результате.
Первая ошибка — выполнять все действия строго слева направо, не учитывая приоритет умножения и деления. Так бывает, когда порядок записи принимают за единственное правило и пропускают знаки действий. Чтобы проверить себя, сначала отметь умножение и деление и убедись, что они выполнены до сложения и вычитания.
Вторая ошибка — игнорировать скобки или сначала выполнять действие за скобками. Причина часто в том, что ученик начинает считать с первого знака и не замечает выделенную часть. Перед вычислениями найди все скобки, а в решении проверь, что их содержимое заменено результатом раньше внешних действий.
Третья ошибка — смешать промежуточные результаты или потерять знак действия. Это случается, когда несколько шагов считают мысленно и не переписывают остаток выражения. Записывай новый результат после каждого действия и сверяй, какой знак стоит между ним и следующими числами.
Четвёртая ошибка — неверно сложить, вычесть, умножить или разделить, хотя порядок действий выбран правильно. Такая неточность может появиться из-за спешки или невнимательной проверки вычислений. Пересчитай каждое действие отдельно, а где возможно, проверь результат обратным действием, например сложение — вычитанием.
До решения примеров нужно знать таблицу сложения и умножения, правила основных арифметических действий и их обозначения. Эти знания помогают верно выполнить каждый отдельный шаг, а порядок действий показывает, в какой последовательности шаги соединить. Без уверенного счёта даже правильно выбранный порядок не гарантирует верного значения выражения.
Дальше умение работать с порядком действий пригодится при решении текстовых задач и составлении числовых выражений по условию. Оно также понадобится при изучении выражений с буквами: правила вычислений сохраняются, хотя вместо некоторых чисел будут записаны буквы. Поэтому полезно уже сейчас записывать решение последовательно и проверять каждый этап.
Что делать первым, если в примере есть скобки?
Сначала вычислить выражение внутри скобок. Если внутри несколько действий, применить к ним обычный порядок действий. Затем использовать полученный результат в оставшейся части примера.
Почему умножение выполняют раньше сложения?
Так договорились, чтобы запись выражения однозначно задавала вычисление. Умножение показывает, сколько раз взяли число, и связывает числа теснее, чем сложение. Если нужно сложить раньше, это можно указать скобками.
Как считать выражение, в котором несколько действий одного порядка?
Действия одного порядка выполняют слева направо. Например, в выражении 47 + 28 − 15 сначала складывают 47 и 28, затем из результата вычитают 15. Нельзя переставлять действия местами без обоснования.
Можно ли менять порядок действий в примере?
Нельзя произвольно менять порядок: он определяется скобками и приоритетом действий. Например, умножение выполняют раньше сложения, даже если оно записано правее. Скобки могут изменить этот порядок.
Как проверить правильность значения выражения?
Проверь, что сначала выполнены скобки, затем умножение и деление, а потом сложение и вычитание слева направо. Пересчитай каждое действие отдельно и сравни промежуточные результаты. Для дополнительной проверки можно выполнить обратные действия.
Урок 11. Решение примеров
