"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Разностное сравнение помогает узнать, на сколько одно число или значение больше другого. Для этого из большего значения вычитают меньшее, а полученная разность показывает величину различия. Один и тот же результат подходит и для вопроса «на сколько больше», и для вопроса «на сколько меньше» — меняется только словесная формулировка ответа. Этот способ нужен при решении задач о предметах, расстояниях, времени и других величинах. Его важно отличать от сравнения «во сколько раз».
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разностное сравнение — сравнение двух чисел или величин с помощью вычитания. Оно помогает узнать, насколько одно значение отличается от другого, например сколько лишних карандашей лежит в одной коробке. Для такого сравнения сначала определяют, какое значение больше, а какое меньше. Затем находят разность между ними.
Разность двух чисел — результат вычитания меньшего числа из большего. Например, разность чисел 9 и 6 равна 3, потому что 9 − 6 = 3. Она показывает не сами сравниваемые количества, а расстояние между ними на числовом ряду. Это число и становится ответом на вопрос о величине различия.
Выражение «на сколько больше» означает, что нужно найти разность большего и меньшего значений. Если в первой коробке 9 карандашей, а во второй 6, вопрос «на сколько в первой больше» приводит к действию 9 − 6. Такой вопрос помогает понять, сколько единиц нужно добавить к меньшему количеству, чтобы получить большее. В ответе называют найденное число и подходящую единицу.
Выражение «на сколько меньше» тоже требует найти разность между большим и меньшим значениями. В вопросе «на сколько во второй коробке меньше карандашей, чем в первой» вычитают 6 из 9. Ответ описывает отставание меньшего количества от большего. Это определение нужно, чтобы не искать новую разность, когда меняется только формулировка вопроса.
Вычитают меньшее значение из большего, потому что так можно посчитать единицы, на которые первое количество превосходит второе. Представь, что к меньшему числу прибавляют предметы, пока не получают большее: сколько предметов добавили, столько и составляет разность. Вычитание сразу находит это число без последовательного счёта. Поэтому порядок действий связан со смыслом задачи, а не только с правилом вычисления.
Чтобы понять, какое число вычитать, найди в условии сравниваемые значения и определи, какое из них больше. Слова «на сколько больше» указывают на вопрос о разнице, но сами по себе не означают, что первое названное число обязательно больше. Сопоставь числа с предметами или величинами из условия и только потом составь выражение. Например, при 9 карандашах и 6 карандашах действие будет 9 − 6.
Вопросы «на сколько больше» и «на сколько меньше» имеют одинаковый числовой ответ, потому что описывают одну разницу с двух сторон. Если в одной группе на 7 предметов больше, то в другой группе ровно на 7 предметов меньше. Между двумя количествами существует только один промежуток, независимо от того, с какой стороны на него смотрят. Поэтому меняется словесный вывод, а вычисление остаётся тем же.
Результат можно записать математически и словами. Например, 9 − 6 = 3 — вычисление, а «в первой коробке на 3 карандаша больше» — вывод по условию. В ответе указывай, что именно сравнивается, и не забывай единицу измерения: карандаши, рубли, сантиметры или минуты. Число без пояснения может быть непонятно, особенно если в задаче сравнивают разные величины.
Разностное сравнение отвечает на вопрос «на сколько», а сравнение «во сколько раз» — на вопрос о кратности. В первом случае находят разницу вычитанием, во втором обычно делят большее значение на меньшее. Например, для чисел 12 и 4 разность равна 8, а частное равно 3: это разные ответы на разные вопросы. По формулировке вопроса определи, требуется ли разница в единицах или отношение количеств.
| Что требуется узнать | Действие | Вывод |
|---|---|---|
| На сколько первое число больше второго | Из большего числа вычесть меньшее | Полученная разность показывает превышение первого числа над вторым |
| На сколько второе число меньше первого | Из большего числа вычесть меньшее | Полученная разность показывает, насколько второе число отстаёт от первого |
| Проверка сравнения | К большему числу прибавить найденную разность или из большего вычесть разность | Должно получиться меньшее число |
Сначала найди в вопросе, какое различие требуется описать, а затем выбери большее и меньшее значения. Для обоих вопросов о том, «на сколько», действие одинаковое — вычитание меньшего из большего. После вычисления соотнеси вывод с формулировкой задачи и укажи единицу измерения.
В одной коробке 9 карандашей, а в другой 6. Нужно узнать, на сколько карандашей в первой коробке больше, чем во второй. Сравниваемые количества измерены одинаково, поэтому можно найти их разность. Поскольку 9 больше 6, из 9 вычитаем 6.
Разность показывает, сколько карандашей отделяет количество во второй коробке от количества в первой. Поэтому ответ формулируем с учётом вопроса, а не просто записываем результат вычисления. Ответ: в первой коробке на 3 карандаша больше, чем во второй.
В библиотеке 18 новых книг и 11 журналов. Требуется узнать, на сколько журналов меньше, чем книг, и на сколько книг больше, чем журналов. Сначала находим большее значение: книг больше, чем журналов. Оба вопроса описывают одну и ту же разницу между количествами.
Повторно вычитать числа для второго вопроса не нужно, потому что сравниваемые количества не изменились. Изменилось только направление словесного описания: сначала говорим о недостатке журналов, затем о превышении книг. Ответ: журналов на 7 меньше, чем книг; книг на 7 больше, чем журналов.
У Маши 27 наклеек, это на 8 больше, чем у Оли. Нужно найти количество наклеек Оли и составить проверку. Здесь меньшее количество неизвестно, но известны большее количество и разность. Значит, нужно восстановить меньшее значение: от Машиного количества отнять превышение.
Проверка показывает, что найденное количество действительно на 8 меньше 27. Если при сложении не получилось бы 27, следовало бы проверить вычитание и запись выражения. Ответ: у Оли 19 наклеек; проверка: 19 + 8 = 27.
Первая ошибка — вычесть большее число из меньшего. Так можно получить отрицательный или не подходящий к задаче результат, потому что ищут, на сколько большее значение превышает меньшее. Эту ошибку часто допускают, если берут числа в порядке появления в условии. Проверь себя: перед вычислением назови большее значение и убедись, что вычитаешь из него меньшее.
Вторая ошибка — решить вопрос «на сколько больше» делением. Деление подходит, когда спрашивают «во сколько раз больше», а разностное сравнение требует найти разницу. Слова «на сколько» иногда путают со словами «сколько раз». Проверь, что именно спрашивают, и выбери действие: разницу находят вычитанием, кратность — обычно делением.
Третья ошибка — искать разные разности для вопросов «на сколько больше» и «на сколько меньше». Её допускают, потому что вопросы звучат по-разному, хотя сравниваются те же два значения. В обоих случаях из большего вычитают меньшее. Для проверки составь оба словесных ответа к одной разности: один будет описывать превышение, другой — отставание.
Четвёртая ошибка — записать только число или назвать неверную единицу измерения. Например, ответ «3» не поясняет, что именно сравнили, а ответ в рублях не подходит к задаче о карандашах. Это происходит, когда внимание сосредоточено только на вычислении. Проверь, на какой вопрос отвечаешь, и допиши единицу: предметы, сантиметры, минуты или другую величину из условия.
Для разностного сравнения нужно понимать смысл вычитания и названия его компонентов: уменьшаемое, вычитаемое и разность. Также необходимо уметь сравнивать числа и определять, какое из значений больше. Этот способ часто встречается в задачах на увеличение или уменьшение на несколько единиц. Если в задаче неизвестно одно из чисел, связь между величинами помогает составить выражение, уравнение или задачу на неизвестное уменьшаемое и вычитаемое.
Почему при сравнении нужно вычитать большее число из меньшего?
Чтобы узнать превышение, нужно определить, сколько единиц отделяет большее значение от меньшего. Вычитание меньшего из большего даёт эту разницу. Если поменять числа местами, можно получить отрицательное или неподходящее для задачи число.
Одинаковый ли ответ получится на вопросы «на сколько больше» и «на сколько меньше»?
Да, числовой ответ будет одинаковым: в обоих случаях находят разность большего и меньшего значений. Меняется только описание результата. Например, одно значение на 3 больше другого, а другое на 3 меньше первого.
Как понять, что в задаче нужно использовать разностное, а не кратное сравнение?
Если спрашивают «на сколько больше» или «на сколько меньше», нужно вычитать. Если спрашивают «во сколько раз больше» или «во сколько раз меньше», обычно нужно делить большее значение на меньшее. Ориентируйся на слова вопроса и на то, что именно требуется узнать.
Что делать, если в условии неизвестно меньшее значение?
Если известны большее значение и разность, меньшее находят вычитанием: из большего значения вычитают разность. Например, если у Маши на 8 наклеек больше, чем у Оли, количество наклеек Оли равно количеству Машиных минус 8. Затем результат можно проверить сложением.
Как проверить результат разностного сравнения?
Прибавь найденную разность к меньшему значению: должно получиться большее. Или вычти разность из большего значения — должен получиться меньший результат. Если равенство не выполняется, проверь вычисления и порядок чисел.
Урок 18. Разностное сравнение
