"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Разностное сравнение помогает узнать, на сколько отличаются два числа или две величины. Для этого находят их разность: из большего значения вычитают меньшее. Полученное число показывает размер разницы, а не то, во сколько раз одно значение больше другого. Разностное сравнение используют в задачах о количестве предметов, длине, времени, массе и других величинах. Ответ на вопрос «на сколько больше?» для той же пары значений совпадает с ответом на вопрос «на сколько меньше?».
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разностное сравнение — это сравнение двух чисел или величин с помощью вычитания. Оно показывает, на сколько одно значение отличается от другого, то есть отвечает на вопрос о размере разницы. Такое сравнение нужно, когда требуется узнать, например, насколько одна лента длиннее другой или в одной коробке больше предметов, чем в другой.
Разность — результат вычитания одного числа из другого. При сравнении величин она показывает расстояние между их значениями, а не само большее или меньшее значение. Если из 9 вычесть 5, получится разность 4: именно на 4 единицы одно количество превосходит другое.
Вопрос «на сколько больше» означает: на сколько первая величина превосходит вторую. Чтобы найти ответ, из большего значения вычитают меньшее, даже если большее названо в условии первым или вторым. Это помогает не спутать порядок слов с порядком вычислений и получить размер увеличения.
Вопрос «на сколько меньше» означает: насколько первая величина уступает второй. Ответ находят тем же способом — из большего значения вычитают меньшее. Такое правило нужно потому, что разница между двумя величинами не зависит от того, какую из них описывают как большую, а какую как меньшую.
Чтобы узнать, на сколько одна величина больше другой, нужно найти промежуток между их значениями. Вычитание как раз позволяет определить, сколько единиц отделяет одно число от другого. Например, если предметов 12 и 8, то разность 12 − 8 показывает, сколько предметов пришлось бы добавить к меньшему количеству, чтобы оно сравнялось с большим.
Порядок вычитания выбирают по значениям величин, а не по порядку, в котором они названы. Сначала выясняют, какое значение больше, затем из него вычитают меньшее. Так получают неотрицательное число, которое показывает размер разницы и подходит для ответа на вопрос «на сколько?». Если выполнить вычитание наоборот, получится отрицательное число, хотя спрашивают о величине разрыва между значениями.
Разностное сравнение отвечает на вопрос о разнице, а не о том, во сколько раз одно значение больше другого. Например, сравнивая 12 и 4, вычитанием узнают разницу 8, а делением — отношение 3. Эти результаты отвечают на разные вопросы: в первом случае ищут, сколько единиц отделяет числа, во втором — сколько раз одно число содержится в другом.
Формулировки «на сколько больше» и «на сколько меньше» могут описывать одну и ту же пару величин с разных сторон. Если 15 больше 9 на 6, то 9 меньше 15 на те же 6. Причина в том, что при обоих вопросах определяется один и тот же промежуток между значениями, поэтому достаточно один раз найти разность.
В текстовой задаче сначала выделяют величины, которые сравнивают, и проверяют, что они выражены в одинаковых единицах. Затем определяют большее и меньшее значения и записывают вычитание в подходящем порядке. После вычисления соотносят результат с вопросом задачи и называют единицу измерения, чтобы ответ был понятным.
В таблице собраны вопросы, действие и смысл результата. Сначала найди строку, которая соответствует вопросу задачи, затем выполни указанное действие и объясни, что показывает ответ. Для проверки используй последнюю строку: разность вместе с меньшим значением должна дать большее.
| Вопрос | Действие | Что показывает результат |
|---|---|---|
| На сколько первое число больше второго? | Из большего числа вычесть меньшее | Разницу между числами |
| На сколько первое число меньше второго? | Из большего числа вычесть меньшее | Ту же разницу между числами |
| Как проверить ответ? | Прибавить разность к меньшему числу | Должно получиться большее число |
Условие: в одной коробке 9 карандашей, а в другой 5. Нужно узнать, на сколько карандашей в первой коробке больше. Сравниваем именно количества карандашей, поэтому единицей ответа тоже будут карандаши. Чтобы найти, сколько предметов отделяет одно количество от другого, вычислим разность.
Ответ: в первой коробке на 4 карандаша больше. Здесь не нужно делить количества, потому что спрашивают «на сколько», то есть о разнице. Слово «карандаша» указывает, какие именно величины сравнивали.
Условие: синяя лента имеет длину 18 см, красная — 11 см. Требуется выяснить, на сколько сантиметров красная лента короче синей. Порядок упоминания цветов не меняет вычисления: прежде всего надо определить, какая длина больше. Обе величины выражены в сантиметрах, поэтому их можно непосредственно сравнивать.
Ответ: красная лента короче синей на 7 см. При вопросе «на сколько короче?» действие остаётся тем же, что и при вопросе «на сколько длиннее?». В ответе обязательно сохраняем сантиметры, потому что сравнивали длины.
Условие: в библиотеке 46 книг о природе и 29 книг о космосе. Нужно ответить на два вопроса: на сколько больше книг о природе и на сколько меньше книг о космосе. Пара сравниваемых количеств в обоих случаях одна и та же. Поэтому сначала найдём разницу, а затем соотнесём её с каждой формулировкой.
Ответ: книг о природе на 17 больше, чем книг о космосе; книг о космосе на 17 меньше, чем книг о природе. Ответы равны, потому что описывают одну разницу с противоположных сторон. Единица здесь — книги, и её следует назвать в ответе.
Первая ошибка — вычитать значения в том порядке, в котором они названы, а не из большего меньшее. Так иногда получают отрицательное число или неверный ответ на вопрос «на сколько?». Ошибку допускают, когда слова условия принимают за подсказку к порядку вычитания. Проверь себя: назови большее значение и прибавь к меньшему полученную разность — должно выйти большее.
Вторая ошибка — путать разностное сравнение с кратным и вместо вычитания выполнять деление. Это происходит, если не различать вопросы «на сколько?» и «во сколько раз?». При вопросе о разнице вычитают, а при вопросе об отношении величин делят. Перед вычислением перечитай вопрос и убедись, что выбранное действие отвечает именно на него.
Третья ошибка — не указывать единицу измерения. Одно число не объясняет, сравнивали ли длину в сантиметрах, массу в килограммах или количество предметов. Так бывает, когда внимание сосредоточено только на вычислении. Проверь ответ: после числа должна стоять подходящая единица, согласованная с условием.
Четвёртая ошибка — считать, что ответы на вопросы «на сколько больше?» и «на сколько меньше?» обязаны быть разными. Формулировки кажутся противоположными, поэтому легко решить, что и результаты должны отличаться. Но для той же пары значений разность одна и та же. Чтобы проверить себя, запиши оба вопроса про одни и те же величины и найди разность один раз.
Для разностного сравнения нужно уметь вычитать натуральные числа и понимать смысл сложения и вычитания. Эти действия помогают не только получить разность, но и проверить её обратным действием — сложением. Такой способ сравнения встречается в текстовых задачах о длине, массе, времени, стоимости и количестве предметов. Его полезно отличать от кратного сравнения: вопрос «во сколько раз?» решают делением, потому что он требует найти отношение величин, а не разницу.
Как понять, что задачу нужно решать разностным сравнением?
Ищи в условии вопрос «на сколько больше?» или «на сколько меньше?». Он требует узнать разницу между двумя величинами, поэтому нужно вычесть меньшее значение из большего. В ответе назови единицу измерения, если сравниваются величины.
Почему при вопросе «на сколько?» вычитают меньшее число из большего?
Так находят величину промежутка между двумя значениями и получают неотрицательное число. Если вычесть большее из меньшего, получится отрицательное число, которое не подходит для обычного ответа на вопрос «на сколько?».
Чем вопрос «на сколько больше?» отличается от вопроса «во сколько раз больше?»
Вопрос «на сколько?» просит найти разницу, поэтому выполняют вычитание. Вопрос «во сколько раз?» просит сравнить величины по отношению друг к другу, поэтому большее значение делят на меньшее. Это два разных способа сравнения.
Одинаковы ли ответы на вопросы «на сколько больше?» и «на сколько меньше?»
Да, если речь идёт об одной и той же паре значений. Например, если первое число больше второго на 4, то второе меньше первого на 4. Разница одна и та же, меняется только то, какое значение называют большим.
Как проверить результат разностного сравнения?
Прибавь найденную разность к меньшему значению. Должно получиться большее значение. Если сравниваются величины, проверь также, что в ответе указана подходящая единица измерения.
Урок 17. Разностное сравнение
