"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Сложение и вычитание отрезков позволяют строить новые отрезки заданной длины и находить расстояния. Сумму строят, последовательно откладывая исходные отрезки на одном луче; разность — оставляя часть большего отрезка после откладывания меньшего. Числовые длины при вычислениях должны быть выражены в одной единице измерения. Геометрическое построение связано с арифметическим действием: длина результата равна сумме или разности длин исходных отрезков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина отрезка — числовое значение, показывающее, сколько единичных отрезков в нём содержится. Например, если выбранный сантиметровый отрезок укладывается в AB четыре раза, длина AB равна 4 см. Длина нужна, чтобы сравнивать отрезки и выполнять вычисления с ними.
Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения. Такой единицей может быть, например, сантиметр или метр; выбранную единицу прикладывают к измеряемому отрезку. Без общей единицы числовые значения нельзя правильно складывать или вычитать.
Сумма отрезков — отрезок, длина которого равна сумме длин данных отрезков. Если длины равны 4 см и 3 см, сумма — отрезок длиной 7 см. Это понятие связывает построение нового геометрического объекта с арифметическим сложением.
Разность отрезков — отрезок, длина которого равна разности длин большего и меньшего отрезков. Например, разность отрезков длиной 9 см и 5 см имеет длину 4 см. Она показывает, насколько больший отрезок длиннее меньшего, поэтому сначала нужно сравнить их длины.
Сравнивать отрезки по длине можно наложением: совместить их концы и посмотреть, какой отрезок выступает дальше. Можно также измерить оба отрезка одной линейкой и сравнить полученные числа. При вычислении длины должны быть выражены в одинаковых единицах, иначе числа относятся к разным меркам: например, 1 м и 20 см сначала переводят в сантиметры или метры.
Чтобы построить сумму двух отрезков, проводят луч и выбирают на нём начальную точку. От неё откладывают длину первого отрезка, а от полученного конца — длину второго. Второй отрезок должен начинаться там, где закончился первый, потому что тогда обе части образуют один непрерывный отрезок, а его длина складывается из длин частей.
Общая длина построенного отрезка равна сумме исходных длин: отрезок состоит ровно из двух последовательно расположенных частей, без промежутка и наложения. Порядок частей не влияет на результат: можно сначала отложить длину CD, а затем AB. Конечная точка окажется на том же расстоянии от начала, поскольку при сложении чисел a + b = b + a.
Разность строят, откладывая длину меньшего отрезка от одного конца большего. Часть большего, которая остаётся до другого конца, и будет разностью. Это действие возможно в таком виде только тогда, когда длина уменьшаемого не меньше длины вычитаемого: иначе меньший отрезок не поместится внутри большего, а оставшаяся длина не может быть отрицательной.
Геометрическое действие можно заменить вычислением числовых длин: при сложении складывают числа, при вычитании находят их разность, сохраняя единицу измерения. Например, длины 6 см и 2 см дают сумму 8 см, а их разность равна 4 см. Проверка связывает действия обратно: сумму уменьшают на одно слагаемое, а разность складывают с вычитаемым, чтобы получить исходный больший отрезок.
В таблице указано, при каких условиях выполняют действие и как его изображают на луче. Используйте колонку «Связь длин», чтобы перейти от построения к вычислению. При проверке применяйте обратное арифметическое действие.
| Действие | Условие | Построение | Связь длин |
|---|---|---|---|
| Сумма двух отрезков | Даны любые два отрезка | Отложить их последовательно на одном луче | AB + CD = длина полученного отрезка |
| Разность двух отрезков | Длина уменьшаемого отрезка не меньше длины вычитаемого | Отложить меньший отрезок от одного конца большего | AB − CD = длина оставшегося отрезка |
| Проверка сложения и вычитания | Известны сумма и одно из слагаемых либо разность и одно из чисел | Выполнить обратное арифметическое действие | Сумма проверяется вычитанием, разность — сложением |
Задача 1. Даны отрезки AB длиной 4 см и CD длиной 3 см. Нужно построить их сумму и найти её длину. Для построения возьмём луч и отметим на нём части, равные исходным отрезкам.
Ответ: длина суммы равна 7 см. Построенный отрезок состоит из частей длиной 4 см и 3 см.
Задача 2. Даны MN = 9 см и KL = 5 см. Требуется построить их разность и определить длину оставшейся части. Сначала проверим, какой отрезок длиннее: 9 см больше 5 см, значит, KL можно отложить внутри MN.
Ответ: разность равна отрезку длиной 4 см. Проверка: 5 см + 4 см = 9 см, то есть вычитаемая часть и остаток составляют исходный отрезок.
Задача 3. Отрезок AB равен сумме CD и EF, причём AB = 12 см, CD = 7 см. Нужно найти длину EF и описать её построение. В равенстве AB = CD + EF отрезок EF — неизвестное слагаемое, поэтому его длину найдём вычитанием известного слагаемого из суммы.
Ответ: EF = 5 см. Проверка: 7 см + 5 см = 12 см, значит, построенный отрезок вместе с CD образует AB.
Складывать или вычитать длины, записанные в разных единицах, нельзя: например, сантиметры и метры сначала нужно привести к одной мерке. Ошибка возникает, когда единицу считают несущественной подписью к числу. Перед вычислением проверьте обозначения и выполните перевод; после ответа запишите общую единицу измерения.
Если при построении суммы второй отрезок отложен не от конца первого, части могут разделиться или наложиться. Так происходит, когда ученик переносит исходные отрезки на луч, но не соединяет их последовательно. Проверьте построение: конец первой части должен совпасть с началом второй, а общая длина должна равняться сумме длин.
При поиске разности иногда откладывают больший отрезок от меньшего. Тогда он не помещается внутри, и такое построение не даёт требуемого остатка. Ошибка появляется, если не сравнить длины до начала действия; сравните их заранее и вычитайте меньшую длину из большей.
Длину отрезка можно выразить числом, но сам отрезок — геометрический объект. Поэтому запись равенства числовых значений не всегда сообщает, какие именно отрезки равны. Указывайте, сравниваете ли вы объекты или их длины: например, отрезки имеют равные длины, а их длины равны 5 см. Проверьте, что в ответе названы и объект, и нужная величина.
Для работы с отрезками нужны единицы измерения длины, умение измерять и сравнивать отрезки, а также сложение и вычитание натуральных чисел. Эти знания помогают перейти от рисунка к вычислению и обратно. Если единицы разные, сначала требуется выполнить перевод.
Сложение длин пригодится при нахождении длины ломаной и периметра: нужно сложить длины её частей или сторон. Эти же приёмы помогают решать геометрические задачи, где известны расстояния между точками. На координатном луче длины отрезков связываются с расстоянием между числами.
В дальнейшем сложение отрезков используют, чтобы находить расстояния и строить отрезки заданной длины. Это позволяет точно переносить известную длину на луч и составлять более длинный отрезок из нескольких частей. Проверка измерением или обратным действием помогает обнаружить ошибку.
Можно ли складывать отрезки, если они расположены в разных направлениях?
Да. Для построения суммы достаточно перенести длины отрезков на один луч и отложить их последовательно. Направление исходных отрезков не меняет их длины.
Почему при сложении отрезков второй отрезок нужно откладывать от конца первого?
Тогда второй отрезок продолжает первый, и общая длина складывается из обеих частей. Если отложить его не от конца первого, полученный отрезок может не соответствовать сумме.
Можно ли вычесть больший отрезок из меньшего?
В школьном построении разности отрезков — нет: длина разности не может быть отрицательной. Сначала сравнивают длины и от меньшей отнимают её от большей.
Чем сумма отрезков отличается от суммы их длин?
Сумма отрезков — геометрический объект, то есть новый отрезок. Сумма длин — число с единицей измерения, показывающее длину этого отрезка.
Как проверить правильность построения разности отрезков?
Измерьте получившуюся часть и сложите её длину с длиной отрезка, который вычитали. Если сумма равна длине исходного большего отрезка, построение выполнено верно.
Урок 16. Сложение и вычитание отрезков
