"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Сложение и вычитание отрезков позволяют строить новые отрезки по известным длинам. При сложении части располагают последовательно на одном луче, а при вычитании от большего отрезка отделяют часть, равную меньшему. Длина полученного отрезка находится соответственно сложением или вычитанием числовых длин. Эти действия помогают сравнивать и строить отрезки, а позднее пригодятся при работе с ломаной, периметром и координатным лучом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение отрезков — построение отрезка, длина которого равна сумме длин данных отрезков. Для этого длины частей переносят на одну прямую или один луч и располагают их подряд. Такое построение нужно, когда требуется получить целый отрезок из нескольких частей. Например, если длины частей равны 3 см и 5 см, длина целого отрезка равна 8 см.
Сумма отрезков — отрезок, полученный в результате сложения двух или нескольких отрезков. Его можно обозначить, например, как отрезок AC, если на луче сначала отложили AB, а затем BC. Сумма показывает не только числовой результат, но и сам построенный геометрический объект. Это помогает видеть, какие части составляют целое.
Вычитание отрезков — построение отрезка, длина которого равна разности длин данных отрезков. При таком построении от большего отрезка отделяют часть, равную меньшему. Оставшаяся часть и отвечает на вопрос, насколько один отрезок длиннее другого. Способ нужен для нахождения недостающей части целого.
Разность отрезков — отрезок, длина которого равна разности длин уменьшаемого и вычитаемого отрезков. Если длины равны 9 см и 4 см, длина разности составляет 5 см. Уменьшаемым называют отрезок, от длины которого отнимают, а вычитаемым — длину, которую отнимают. Эти названия помогают не перепутать порядок действия.
При сложении отрезки откладывают последовательно, чтобы их длины составляли одну непрерывную часть прямой. Выбери луч и отметь на нём начало первого отрезка, затем перенеси его длину циркулем или линейкой. От полученной конечной точки отложи длину второго отрезка в том же направлении. Расстояние от начала первого до конца второго и есть результат: промежутка между частями нет, поэтому его длина равна сумме длин.
Чтобы определить длину отрезка по шкале, сначала выясни, чему равен единичный отрезок: например, промежуток между соседними отметками может соответствовать 1 см. Затем посчитай единичные промежутки или доли между началом и концом нужного отрезка. Если концы приходятся на отметки 2 и 5, длина равна 5 − 2 = 3 единицам шкалы. Так измерение сводится к сравнению положения концов с одинаковой мерой.
При вычитании меньший отрезок откладывают от конца большего в обратную сторону, потому что нужно отделить часть целого и увидеть, что останется. Представь больший отрезок как путь от начала до конца, а меньшую длину отмерь назад от конечной точки. Точка, до которой дошло обратное откладывание, обозначит границу оставшейся части. Поэтому от начала большего отрезка до этой точки получается разность.
Действия над отрезками связаны с действиями над их числовыми длинами: сложение частей даёт длину целого, а вычитание отделённой части — длину остатка. Сначала можно вычислить число, например 3 + 5 = 8, а затем построить отрезок длиной 8 см. Или можно выполнить построение и проверить его измерением. В обоих случаях геометрический результат должен соответствовать вычислению, если все длины записаны в одинаковых единицах.
Вычитание возможно, только если уменьшаемый отрезок не короче вычитаемого. Причина в том, что при построении нужно отделить от целого часть заданной длины, а часть не может быть длиннее целого. Если отрезок длиной 4 см попытаться уменьшить на 7 см, на луче не останется отрезка длиной −3 см: отрицательная длина не существует. В таком случае нужно проверить порядок отрезков или условие задачи.
| Операция | Как построить | Длина результата | Обозначение результата |
|---|---|---|---|
| Сложение двух отрезков | Отложить второй отрезок от конца первого на одном луче | Сумма длин слагаемых | Отрезок от начала первого до конца второго |
| Сложение нескольких отрезков | Последовательно отложить все отрезки на одном луче | Сумма длин всех частей | Отрезок от начала первой части до конца последней |
| Вычитание отрезков | От конца большего отложить назад длину меньшего | Длина уменьшаемого минус длина вычитаемого | Оставшаяся часть большего отрезка |
| Проверка результата | Измерить результат и сопоставить с вычислением | Должна совпасть с ожидаемым числом | Построенный отрезок, длина которого подтверждена измерением |
Пользуйся таблицей как планом: сначала определи, складываешь ты длины или вычитаешь, затем выбери способ построения. После этого вычисли длину и измерь готовый отрезок. В строке проверки указано, как убедиться, что построение и вычисление согласуются.
Задача 1. Построить сумму отрезков AB и CD, если AB = 3 см, CD = 5 см. Сначала нужно получить общий отрезок из двух частей, а не просто записать сумму чисел. Поэтому перенесём обе длины на один луч и расположим их подряд. Концы исходных отрезков могут быть на разных прямых: для суммы важны их длины.
Ответ: сумма построена отрезком OC длиной 8 см. Измерение линейкой должно подтвердить, что от O до C восемь сантиметров. Здесь отрезки AB и CD послужили образцами длин, а построенные части OA и AC составили сумму.
Задача 2. Построить разность отрезков MN и PQ, если MN = 9 см, PQ = 4 см. Уменьшаемый MN длиннее вычитаемого PQ, значит, разность существует. Нужно отмерить от конца девятисантиметрового отрезка четыре сантиметра назад. Тогда оставшаяся часть покажет, сколько длины не вошло в отделённый отрезок.
Ответ: разность MN и PQ — отрезок MK длиной 5 см. Проверка показывает, что к оставшимся 5 см можно прибавить отделённые 4 см и получить исходные 9 см. Это подтверждает и построение, и вычисление.
Задача 3. На шкале отмечены отрезки длиной 2 см, 3,5 см и 4 см. Нужно построить отрезок, равный сумме первых двух, и сравнить его с третьим. Сначала сложим длины, поскольку именно они задают длину искомого отрезка. Затем сравним полученное число с длиной третьего отрезка: так можно понять, какой из них длиннее и на сколько.
Ответ: построенный отрезок имеет длину 5,5 см и длиннее третьего на 1,5 см. Удобно сравнивать отрезки именно по числовым длинам, выраженным в одинаковых единицах. При построении проверь линейкой, что конец отрезка оказался на отметке 5,5 см.
Иногда отрезки откладывают в разных направлениях или отдельно друг от друга, а получившуюся фигуру называют суммой. Так происходит, если ориентироваться на положение исходных отрезков, а не на то, что сумма должна объединять их длины в одну линию. Чтобы проверить себя, проследи путь от начала первой части до конца последней: части должны идти подряд и не расходиться в стороны. Длина всего отрезка тогда равна сумме длин частей.
При вычитании меньший отрезок могут отложить не от конца большего, а от его начала или от произвольной точки. В таком случае отмеченная часть не показывает, сколько останется после удаления вычитаемого. Проверь построение: меньшую длину нужно отделить от конечной точки большего, двигаясь назад. Оставшаяся часть должна вместе с отделённой составить исходный больший отрезок.
Другая ошибка — записать только число, например «8 см», и не показать сам отрезок. Число сообщает длину, но по нему нельзя увидеть, где находятся начало и конец результата и как он построен из частей. Для проверки обозначь концы отрезка и покажи, какие отрезки образуют его длину. Затем измерь результат линейкой и сопоставь измерение с вычислением.
Нельзя вычитать больший отрезок из меньшего и ожидать, что получится отрезок отрицательной длины. Такую попытку допускают, если забывают проверить, что уменьшаемое не короче вычитаемого. Сначала сравни длины и только затем выполняй построение. Если вычитаемое больше, проверь, не перепутаны ли названия отрезков или порядок действия в условии.
До изучения действий с отрезками нужно уметь измерять их, сравнивать длины и пользоваться линейкой или шкалой. Единицы измерения должны быть одинаковыми, иначе числовые результаты нельзя напрямую складывать или вычитать. Эти умения позволяют точно переносить длины и проверять построение.
На координатном луче отрезки помогают находить расстояния между точками и переходить от одной точки к другой на заданное число единиц. Сложение длины шага и пройденного пути соответствует последовательному откладыванию отрезков. Вычитание помогает определить, сколько единиц отделяет две точки, если известны их положения.
Те же действия пригодятся при работе с длинами ломаных и периметрами: длину всей фигуры находят, складывая длины её частей. Вычитание используют, когда известна общая длина и нужно найти неизвестный участок. Поэтому построение отрезков связывает геометрические чертежи с вычислениями.
Можно ли складывать отрезки, расположенные на разных прямых?
Да. Для построения суммы перенеси длины обоих отрезков на один луч и отложи их последовательно. Направление исходных отрезков не меняет их длины.
Почему при сложении отрезки нужно откладывать последовательно?
Так конец первого отрезка становится началом второго, и весь построенный отрезок содержит обе длины без промежутка и наложения. Поэтому его длина равна сумме длин частей.
Как построить разность двух отрезков?
Отложи на луче длину большего отрезка, а от его конца в обратную сторону отдели длину меньшего. Оставшаяся часть и будет разностью; её длина равна разности исходных длин.
Что делать, если вычитаемый отрезок длиннее уменьшаемого?
В обычном смысле разность таких отрезков построить нельзя: длина не может быть отрицательной. Проверь, верно ли определены уменьшаемое и вычитаемое, или сравни отрезки в обратном порядке.
Как проверить правильность построенной суммы или разности?
Измерь полученный отрезок линейкой и сравни его длину с вычислением по исходным длинам. Для суммы результат должен быть равен их сумме, а для разности — длине уменьшаемого минус длина вычитаемого.
Урок 15. Сложение и вычитание отрезков
