Урок 2. Какая бывает форма?

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — идеализированная форма предмета или часть плоскости, которую изучает математика. Например, изучая форму окна, можно не обращать внимания на стекло, раму и цвет. Такое упрощение помогает сравнивать предметы и описывать их свойства.

Плоская фигура — фигура, все точки которой расположены на одной плоскости; назвать её можно по форме, сторонам или границе. К плоским фигурам относятся, например, круг и треугольник. Это понятие помогает отличать фигуры, которые можно изобразить на листе, от объёмных тел.

Пространственная фигура — объёмное тело, имеющее длину, ширину и высоту. Таковы куб, шар и цилиндр. Понятие нужно, чтобы говорить о форме предметов, занимающих место в пространстве, а не только о фигурах на плоскости.

Многоугольник — плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией; его называют по числу сторон и вершин. Например, у треугольника три стороны и три вершины. Определение помогает проверить, относится ли фигура к многоугольникам, и правильно её назвать.

Как это устроено

У предмета есть разные свойства: материал, цвет, назначение и форма. В геометрии оставляют только те свойства, которые нужны для задачи, и рассматривают предмет как фигуру. Благодаря этому форму можно сравнивать у вещей, которые совсем не похожи по материалу или назначению: например, у дорожного знака и игрушечной детали.

Плоские фигуры и пространственные тела различаются тем, сколько измерений нужно, чтобы описать их расположение. Для плоской фигуры достаточно положения на плоскости, а тело занимает пространство и имеет длину, ширину и высоту. Изображение тела на бумаге всё равно плоское: лист не приобретает глубину, а линии лишь показывают, как тело выглядит. Поэтому рисунок куба помогает представить куб, но не становится самим кубом.

Форму плоской фигуры распознают по её границе. У круга граница кривая, а у многоугольника она состоит из отрезков; места соединения отрезков называют вершинами, а сами отрезки — сторонами. Если граница многоугольника не замкнута, перед нами не законченная фигура такого вида. Подсчёт сторон, вершин и углов помогает отличить одну фигуру от другой.

Названия «треугольник» и «четырёхугольник» подсказывают число сторон: у первого их три, у второго — четыре. Так же называют и другие многоугольники, ориентируясь на число сторон. Это правило удобно, потому что название сразу сообщает важный признак фигуры, даже если её стороны имеют разную длину или расположены по-разному.

Предметы могут иметь одинаковую форму, но различаться размером и положением. Маленький квадрат и большой квадрат остаются квадратами, если у каждого четыре равные стороны и прямые углы. Поворот тоже не меняет форму: фигура лишь занимает другое положение. Поэтому при распознавании важно смотреть на границу и свойства, а не только на то, как крупно или под каким углом нарисован предмет.

Виды геометрических фигур и их признаки

Сначала определи, плоская перед тобой фигура или пространственное тело, а затем сравни её признаки с таблицей. Если граница состоит из отрезков, проверь, замкнута ли она, и посчитай стороны. Примеры предметов подсказывают сходство формы, но сами предметы могут иметь дополнительные детали.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке показаны мяч, окно, дорожный знак и книга. Нужно распределить предметы по форме, отделив плоские фигуры от объёмных тел. Сначала рассматриваем форму каждого предмета, а не его цвет или назначение.

1. Мяч занимает место в пространстве и имеет объём, поэтому отнесём его к пространственным телам; его форма похожа на шар.
2. Окно можно представить как прямоугольник, а дорожный знак — как плоскую фигуру по его контуру. Книга тоже объёмная: у неё есть длина, ширина и толщина.
3. Сверяем группы: плоские формы — прямоугольник окна и контур знака; пространственные предметы — мяч и книга.

Ответ. Мяч и книга — объёмные предметы; окно и дорожный знак можно рассматривать как плоские фигуры по их контуру. Реальные вещи могут содержать объёмные детали, поэтому мы выделяем именно форму, нужную для сравнения.

Задача 2. Определить, какие из нескольких замкнутых фигур являются треугольниками, а какие — четырёхугольниками, и назвать число сторон и вершин. Не стоит полагаться только на общий вид: сначала нужно проверить границу. Считать будем последовательно, не перескакивая через отрезки.

1. Проследим границу первой фигуры по кругу. Если она состоит из трёх отрезков и замыкается в начальной точке, это треугольник; у него три вершины.
2. Для каждой следующей фигуры тем же способом посчитаем отрезки. Четыре отрезка в замкнутой границе означают четырёхугольник с четырьмя вершинами.
3. Проверим результат: в замкнутой ломаной каждый отрезок соединяется с соседним, поэтому число сторон и число точек соединения совпадают.

Ответ. Фигуры с тремя сторонами — треугольники, с четырьмя — четырёхугольники; у каждой число вершин равно числу сторон. Если граница разомкнута или состоит из кривой линии, называть её многоугольником нельзя.

Задача 3. Нужно составить из предложенных элементов фигуру заданной формы и объяснить, по каким признакам она распознаётся. Например, требуется получить четырёхугольник из отдельных частей. Цвет элементов и их размер не сообщают, какая форма получилась, поэтому будем проверять внешнюю границу.

1. Расположим элементы так, чтобы их внешние края образовали одну замкнутую границу. Внутренние линии между частями не считаем сторонами всей составленной фигуры.
2. Обойдём внешнюю границу по порядку и отметим места, где она меняет направление: это вершины. Между соседними вершинами должны быть прямые отрезки, если мы составляем многоугольник.
3. Посчитаем стороны и сопоставим их с заданной формой. Для четырёхугольника нужно получить четыре стороны и четыре вершины; затем проверим, что граница замкнулась.

Ответ. Полученная фигура является четырёхугольником, если её внешняя граница замкнута и состоит из четырёх отрезков. Объяснение опирается на границу, стороны и вершины, а не на цвет или величину частей.

Типичные ошибки

Ошибка — считать геометрической фигурой весь предмет без отделения его формы от цвета, материала и назначения. Так происходит, потому что в обычной жизни мы воспринимаем вещь целиком, а не анализируем её математически. Проверь себя: можешь ли ты описать форму предмета, не упоминая, из чего он сделан и для чего нужен?

Иногда объёмный предмет называют плоской фигурой только потому, что он нарисован на листе. Причина в том, что рисунок виден на плоскости, хотя показывает тело с глубиной. Спроси себя, есть ли у самого предмета длина, ширина и высота: если да, то он пространственный, а изображение — плоское.

Многоугольник могут определять только по внешнему виду, не проверяя, замкнута ли граница и состоит ли она из отрезков. Из-за этого разомкнутую ломаную или фигуру с кривой частью ошибочно принимают за многоугольник. Проведи взглядом по контуру: он должен вернуться в исходную точку и состоять только из прямых отрезков.

Ещё одна ошибка — путать число сторон и вершин или считать одну сторону несколько раз. Такое случается, если перескакивать по контуру или начинать подсчёт заново без отметки. Проверяй фигуру последовательно: каждой стороне соответствует один отрезок между соседними вершинами, а после полного обхода числа должны совпасть.

Связь с другими темами

Для работы с фигурами полезно уметь различать точку, отрезок, прямую и ломаную линию, а также считать стороны и вершины. Эти знания помогают анализировать границу и не путать замкнутую фигуру с незаконченной линией. Если считать элементы по порядку, форму легче описать точно.

Понятия плоской и пространственной фигуры понадобятся при изучении периметра, площади и объёма. Периметр и площадь относятся к плоским фигурам, а объём описывает пространственные тела. Распознавание формы также помогает изучать симметрию и строить фигуры.

В практических задачах нужно отличать реальный предмет от его геометрической модели. Это полезно, когда сравнивают размеры и форму вещей или решают, какую фигуру взять для описания поверхности предмета. Математическая модель упрощает реальность, оставляя свойства, важные для решения задачи.

Что запомнить

• Геометрическая фигура описывает форму, а не материал или назначение предмета.
• Плоская фигура расположена на плоскости.
• Пространственное тело имеет объём и три измерения.
• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной линией.
• Многоугольник называют по числу его сторон.
• Фигуры одинаковой формы могут иметь разные размеры.
• Для распознавания фигуры важны её стороны, углы, вершины и граница.