Урок 22. Числовой отрезок

Определения и обозначения

Числовая прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Началу соответствует 0, единичный отрезок задаёт масштаб, а направление помогает понять, где числа увеличиваются. Благодаря этому каждой точке можно сопоставить число.

Координата точки — число, показывающее её положение на числовой прямой. Точка справа от начала отсчёта имеет положительную координату, а слева — отрицательную. Координата нужна, чтобы точно описать положение точки без словесного указания места.

Числовой отрезок — часть числовой прямой между двумя точками, включая сами точки. Его концы задают границы, а все точки между ними тоже принадлежат отрезку. Это понятие позволяет рассматривать сразу целую группу чисел.

Запись [a; b] обозначает множество чисел от a до b включительно, если a ≤ b. Числа a и b — координаты концов: меньшая стоит первой, большая — второй. Квадратные скобки напоминают, что границы тоже входят в отрезок.

Как это устроено

Чтобы каждой точке прямой поставить в соответствие число, сначала выбирают начало отсчёта и называют его координату нулём. Затем задают единичный отрезок: он показывает, какому расстоянию соответствует одна единица. Положительное направление устанавливает порядок чисел: при движении вправо координаты растут, при движении влево — уменьшаются. Без этих договорённостей нельзя было бы однозначно определить координаты по положению точек.

Положение числового отрезка определяют координаты его концов. На прямой меньшая координата находится левее, а большая — правее, поэтому отрезок [a; b] располагается между ними. Расстояние между концами не зависит от того, с какой стороны от нуля они находятся: его находят вычитанием меньшей координаты из большей. Поэтому длина [a; b] равна b − a, а не просто координате одного из концов.

Отрезок включает не только концы, потому что между двумя точками числовой прямой расположены и другие точки. Например, между 2 и 5 находятся числа 3, 4, а также 2,5 и 4,8. Все они лежат между границами, поэтому входят в отрезок. Если оставить только концы, получится всего две точки, а не часть прямой между ними.

Геометрическое изображение показывает участок прямой, а запись [a; b] кратко сообщает его границы и то, что обе включены. Ту же информацию можно выразить неравенством a ≤ x ≤ b: оно означает, что x не меньше a и не больше b. Например, [1; 5] и условие 1 ≤ x ≤ 5 задают одни и те же числа. Такая связь удобна, когда нужно перейти от рисунка к вычислениям или, наоборот, из неравенства получить изображение.

Чтобы восстановить отрезок по записи, прочитай числа в скобках как координаты левого и правого концов. Проверь, что первая координата не больше второй, затем найди обе точки на числовой прямой и выдели участок между ними. Концы отмечай включёнными, поскольку использованы квадратные скобки. Если требуется проверить число, сравни его сначала с левой границей, а затем с правой.

Числовой отрезок: изображение и запись

Сначала найди границы и проверь, какая из координат меньше: она должна стоять слева и записываться первой. Затем выбери подходящую форму — рисунок, квадратные скобки или двойное неравенство. Таблица также помогает быстро вспомнить, как вычислить длину.

Разбор задач

Изобразить числовой отрезок [2; 5] и отметить его концы

Нужно показать на числовой прямой все числа от 2 до 5 и не забыть включить границы. Для этого важно сначала найти точки с заданными координатами, а затем выделить не только их, но и весь участок между ними. По записи видно, что оба конца принадлежат отрезку.

1. Начерти числовую прямую, обозначь положительное направление вправо и отметь деления с шагом 1.
2. Найди на ней точки с координатами 2 и 5.
3. Выдели часть прямой между этими точками и закрась обе конечные точки.

Закрашенные точки показывают, что координаты 2 и 5 входят в отрезок. Все точки между ними также включены. Ответ: изображён отрезок с концами 2 и 5, то есть [2; 5].

Определить, принадлежат ли числа 1, 3, 5 и 6 отрезку [1; 5]

Отрезок [1; 5] включает числа от 1 до 5 вместе с обеими границами. Значит, для каждого предложенного числа нужно проверить условие 1 ≤ x ≤ 5. Проверка границ особенно важна: число, равное 1 или 5, тоже принадлежит отрезку.

1. Для x = 1 получаем 1 ≤ 1 ≤ 5, поэтому число принадлежит отрезку.
2. Для x = 3 получаем 1 ≤ 3 ≤ 5, поэтому число принадлежит отрезку.
3. Для x = 5 получаем 1 ≤ 5 ≤ 5, поэтому число принадлежит отрезку.
4. Для x = 6 условие 6 ≤ 5 неверно, поэтому число не принадлежит отрезку.

Три числа находятся внутри границ или совпадают с ними, а 6 расположено правее правого конца. Проверка показывает, почему нельзя исключать концы при работе с квадратными скобками. Ответ: 1, 3 и 5 принадлежат отрезку, 6 не принадлежит.

Записать отрезок для −3 ≤ x ≤ 2 и найти его длину

Двойное неравенство задаёт нижнюю и верхнюю границы для x. Числа −3 и 2 включены, потому что перед ними стоят знаки «меньше или равно». Значит, отрезок нужно записать квадратными скобками, а длину найти как разность большей и меньшей координат.

1. Определи концы: левая граница равна −3, правая — 2.
2. Запиши все числа между ними вместе с границами: [−3; 2].
3. Вычисли длину: 2 − (−3) = 2 + 3 = 5.

При вычитании отрицательной координаты получается сложение, поэтому расстояние между концами равно пяти единицам. Запись отрезка сохраняет условие включённости обеих границ. Ответ: [−3; 2], длина — 5.

Типичные ошибки

Некоторые исключают концы, хотя отрезок включает их. Так бывает, если ученик воспринимает границы только как ориентиры или забывает значение квадратных скобок. Проверь себя по записи и неравенству: для [a; b] выполняется a ≤ x ≤ b, поэтому x может равняться a или b.

Координату точки иногда принимают за расстояние между точками. Координата отсчитывается от начала прямой, а расстояние зависит от двух концов и находится вычитанием их координат. Чтобы проверить вычисление, представь точки на прямой и посчитай единичные промежутки между ними; длина не может быть отрицательной.

Бывает, что концы записывают в обратном порядке, например [5; 2]. Обычно это происходит, когда числа переносят в скобки, не сравнив их. Сначала расположи концы на прямой или сравни их: слева должна стоять меньшая координата, справа — большая, так что запись имеет вид [2; 5].

Ещё одна ошибка — считать, что отрезок состоит только из целых чисел между концами. Целые числа легко перечислить, поэтому можно забыть о дробных значениях, например 2,5 между 2 и 3. Проверь себя, представив участок прямой непрерывным: в нём есть точки и с целыми, и с дробными координатами.

Связь с другими темами

Для работы с числовым отрезком нужно уметь отмечать числа на координатной прямой и сравнивать их: эти навыки помогают находить левую и правую границы. Затем запись отрезков пригодится при изображении решений неравенств: каждое допустимое значение отмечают на прямой. Отрезки также задают промежутки возможных числовых значений, например границы, в которых может находиться величина. Поэтому понимание обозначений помогает переходить от неравенств к наглядному изображению и обратно.

Что запомнить

• Числовой отрезок — часть числовой прямой между двумя концами.
• Оба конца числового отрезка входят в него.
• Отрезок с концами a и b, где a ≤ b, обозначают [a; b].
• Числа отрезка [a; b] удовлетворяют неравенству a ≤ x ≤ b.
• Длина числового отрезка равна b − a.