Урок 3. Части множества

Определения и обозначения

Множество A является подмножеством множества B, если каждый элемент A принадлежит B; это записывают A ⊂ B. Например, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3}, потому что и 1, и 3 есть во втором множестве. Понятие подмножества помогает точно описать, как одно множество связано с другим.

Пустое множество — это множество, в котором нет ни одного элемента; его обозначают ∅. Например, множество натуральных чисел, которые меньше 1, пусто. Такое обозначение нужно, чтобы говорить об отсутствии элементов как о самостоятельном математическом объекте.

Равными называют множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от порядка их перечисления. Поэтому {1, 2} = {2, 1}. Сравнивая множества, проверяют, что каждый элемент одного есть в другом, а не сопоставляют записи посимвольно.

Разбиение множества на части — это представление исходного множества в виде нескольких подмножеств, которые вместе содержат все его элементы и не имеют общих элементов. Например, множество {1, 2, 3, 4} можно разделить на {1, 3} и {2, 4}. Это понятие используют, когда нужно распределить все объекты по отдельным группам без пропусков и повторного попадания.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли A подмножеством B, нужно рассмотреть каждый элемент A и выяснить, есть ли он в B. Проверка только одного или нескольких элементов не даёт уверенности: оставшийся элемент может не входить в B. Если хотя бы один элемент A не принадлежит B, запись A ⊂ B неверна. Такой способ следует прямо из определения: требование относится ко всем элементам A.

Любое множество является подмножеством самого себя, потому что каждый его элемент заведомо принадлежит ему. Пустое множество тоже является подмножеством любого множества: в нём нет ни одного элемента, который мог бы оказаться посторонним. Иными словами, нельзя найти элемент пустого множества, нарушающий условие принадлежности. Это не означает, что пустое множество содержит элементы другого множества.

При сравнении множеств важен их состав, а не порядок перечисления и не количество повторов в записи. Например, {а, б, а} и {б, а} задают одно множество, поскольку в обоих случаях присутствуют только а и б. Чтобы установить равенство, проверяют принадлежность в обе стороны: элементы первого входят во второе, и элементы второго — в первое. Если этого не сделать, можно заметить совпадение части элементов, но пропустить различие.

При разбиении элементы распределяют по нескольким подмножествам так, чтобы ни один не потерялся и ни один не оказался сразу в двух частях. Первое условие обеспечивает полноту: объединение всех частей должно дать исходное множество. Второе означает, что части не пересекаются и каждый элемент относится только к одной из них. Например, ученик класса может либо заниматься в выбранном кружке, либо не заниматься, но не может одновременно попасть в обе группы.

Объединение частей — это множество всех элементов, которые входят хотя бы в одну из них. Поэтому при проверке разбиения полезно сначала убедиться, что объединение совпадает с исходным множеством, а затем проверить, что части не имеют общих элементов. Если объединение меньше исходного множества, что-то пропущено; если части пересекаются, какой-то элемент распределён дважды. Так проверяются оба условия разбиения, а не только наличие нескольких групп.

Основные отношения между множествами

Пользуйтесь таблицей как краткой подсказкой: сначала определите, какое отношение нужно проверить, затем сопоставьте его с условием во втором столбце. Примеры показывают, как это условие выглядит для конкретных множеств. Для разбиения дополнительно проверьте, что части не пересекаются и в совокупности содержат все исходные элементы.

Разбор задач

Задача 1. Дано B = {2, 4, 6, 8}. Является ли A = {2, 6} подмножеством B? Решение строим по определению: нужно установить принадлежность каждого элемента A множеству B.

1. Проверяем элемент 2: он входит в B.
2. Проверяем элемент 6: он тоже входит в B.
3. В A больше нет элементов, поэтому все элементы A принадлежат B.

Ответ: да, A ⊂ B.

Задача 2. Запишите все подмножества множества {a, b}. Подмножество может не содержать ни одного элемента, содержать один из двух или включать оба. Переберём эти возможности, чтобы ни один вариант не пропустить.

1. Не выбираем ни одного элемента: получаем ∅.
2. Выбираем только a или только b: получаем {a} и {b}.
3. Выбираем оба элемента: получаем {a, b}.

Ответ: ∅, {a}, {b}, {a, b}. Вариантов четыре, потому что для каждого из двух элементов есть два выбора: включить его или не включать.

Задача 3. Разделите множество учащихся класса на две части: тех, кто занимается в кружке, и тех, кто не занимается. Объясните, почему это разбиение. Обозначим первую группу как множество учащихся, посещающих кружок, а вторую — как множество тех, кто его не посещает.

1. Каждого ученика относим к одной из групп: он либо посещает кружок, либо не посещает.
2. Ни один ученик не может одновременно посещать этот кружок и не посещать его, поэтому группы не пересекаются.
3. Вместе группы включают всех учащихся класса, значит, никто не пропущен.

Ответ: это разбиение множества класса, потому что части не пересекаются и вместе дают всех учащихся.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что A ⊂ B достаточно наличия нескольких общих элементов. Так путают подмножество с частичным совпадением множеств, хотя по определению каждый элемент A должен входить в B. Проверьте себя: выпишите элементы A и отметьте каждый в B. Если хотя бы один не нашёлся, A не является подмножеством B.

Иногда пустое множество не считают подмножеством, потому что в нём нет элементов для проверки. Но условие требует, чтобы не нашлось элемента пустого множества вне другого множества, а такого элемента нет. Ошибка возникает, если принять отсутствие элементов за препятствие. Проверка проста: спросите себя, можно ли указать хотя бы один элемент ∅, который не принадлежит данному множеству; такого элемента не существует.

Множества могут ошибочно назвать разными из-за другого порядка записи элементов. Причина в том, что запись списка воспринимают как последовательность, хотя множество определяется составом. Сравните, какие именно элементы присутствуют, не обращая внимания на их расположение. Например, {1, 2} и {2, 1} содержат одно и то же.

При разбиении часто забывают элемент или относят его сразу к двум частям. Это может случиться, если проверять группы отдельно и не сверять их с исходным множеством. Для самопроверки отметьте для каждого исходного элемента, в какую часть он попал: у каждого должна быть ровно одна отметка. Затем убедитесь, что части не пересекаются, а вместе содержат все элементы исходного множества.

Связь с другими темами

Перед изучением частей множества нужно уметь задавать множество перечислением элементов и понимать запись принадлежности элемента множеству. Тогда можно проверять, входит ли конкретный элемент в множество и, следовательно, соответствует ли оно условию подмножества. Эти действия нужны и при сравнении множеств, и при распределении их элементов по частям.

Понятие подмножества пригодится при изучении объединения и пересечения множеств: оно помогает описывать, какие элементы относятся к рассматриваемым группам. С его помощью также классифицируют числа и геометрические фигуры, выделяя множества объектов с нужным свойством. Например, множество чётных чисел рассматривают как часть множества натуральных чисел.

Что запомнить

• A ⊂ B, если каждый элемент A принадлежит B.
• Любое множество является подмножеством самого себя.
• Пустое множество является подмножеством любого множества.
• Равные множества содержат одни и те же элементы.
• Порядок перечисления элементов множества не важен.
• При разбиении части не пересекаются и вместе дают исходное множество.