Урок 4. Равные множества

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, рассматриваемая как единое целое. Например, можно составить множество учеников класса, цифр или домашних животных. Объекты внутри него могут быть разной природы, но их объединяет выбранное описание.

Элемент множества — объект, который принадлежит данному множеству. Запись x ∈ A читают: «x принадлежит множеству A», а x ∉ A — «x не принадлежит множеству A». Эти обозначения помогают коротко сообщить, входит объект в множество или нет.

Равные множества — множества, состоящие из одних и тех же элементов. Например, {2, 4, 6} и {6, 2, 4} равны. Такое определение нужно, чтобы сравнивать множества по составу, не обращая внимания на порядок записи.

Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента; его обозначают символом ∅. Например, множество натуральных чисел, меньших 1, в принятой школьной записи пусто. Не путайте его с {∅}: это множество, в котором один элемент — пустое множество.

Как это устроено

Множество можно задать перечислением элементов: A = {1, 2, 3, 4}. Другой способ — назвать общее свойство: A — множество натуральных чисел, меньших 5. Оба способа задают одно множество, потому что в них отбираются одни и те же числа.

Равенство множеств объясняется через принадлежность элементов. Сначала проверяют, что каждый элемент первого множества есть во втором. Затем выполняют обратную проверку, потому что во втором множестве может оказаться лишний элемент.

Перестановка элементов не изменяет множество, так как множество не является списком с закреплёнными местами. В записях {a, b, c} и {c, a, b} указаны одинаковые объекты. Значит, порядок нужен только для удобства записи, а не для определения состава.

Повторная запись элемента также не создаёт нового элемента. Если в записи {a, b, a} убрать второе упоминание буквы a, набор объектов останется прежним. Поэтому эту запись можно сократить до {a, b} без изменения множества.

Если множества заданы разными способами, сначала переведите их в удобный вид. Можно перечислить элементы, подходящие под условие, а затем сравнить получившиеся наборы. Иногда достаточно проверить, что оба множества описываются одним и тем же условием.

Как сравнивать и задавать множества

Пользуйтесь таблицей как коротким алгоритмом проверки. Сначала выясните, как заданы множества, затем уберите повторы и не обращайте внимания на порядок. После этого проверьте наличие каждого элемента в обоих направлениях.

Разбор задач

Задача 1

Даны множества A = {1, 2, 3} и B = {3, 2, 1}. Нужно установить, равны ли они. Сравнивать будем не места элементов, а состав множеств.

1. Проверим элементы A: 1, 2 и 3 входят в B.
2. Проверим элементы B: 3, 2 и 1 входят в A.
3. Сделаем вывод, что оба множества содержат одинаковые элементы.

Ответ: A = B. Разный порядок перечисления не влияет на равенство множеств.

Задача 2

Нужно записать перечислением множество натуральных чисел, меньших 5, и сравнить его с {1, 2, 3, 4}. Сначала выпишем натуральные числа по порядку и остановимся перед числом 5.

1. Натуральные числа, меньшие 5, — это 1, 2, 3 и 4.
2. Запишем их как множество: A = {1, 2, 3, 4}.
3. Сравним A с данным множеством: элементы совпадают, лишних элементов нет.

Ответ: множество равно {1, 2, 3, 4}. Описание свойства и перечисление задают один и тот же состав.

Задача 3

Даны A = {a, b, c, a} и B = {c, a, b, d}. Нужно определить равенство и найти элемент, который ему мешает. Повтор буквы a в A сначала не учитываем.

1. Сократим A до {a, b, c}, потому что повтор не создаёт нового элемента.
2. Сравним составы: a, b и c есть в обоих множествах, но d отсутствует в A.
3. Проверка в обратную сторону также показывает, что d принадлежит B, но не принадлежит A.

Ответ: множества не равны. Равенству мешает элемент d; повтор a на результат не влияет.

Типичные ошибки

Иногда множества считают разными из-за разного порядка элементов. Так происходит, если множество принимают за обычный список с местами. Проверьте состав: если каждый элемент встречается в обоих множествах, порядок можно не учитывать.

Повторно записанный элемент ошибочно принимают за новый. Обычно путают количество записей с количеством разных объектов. Уберите повторы и сравните оставшиеся элементы.

Бывает, что проверяют только, входят ли элементы A в B, и сразу делают вывод о равенстве. Но в B может находиться дополнительный элемент, поэтому нужна обратная проверка. Спросите себя, каждый ли элемент B принадлежит A.

Записи x ∈ A и A ⊆ B иногда смешивают. Первая означает принадлежность отдельного объекта множеству, а вторая — что все элементы множества A входят в B. Посмотрите на обозначения: слева от ∈ стоит элемент, а перед ⊆ — множество.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно понимать, что такое объект и как описать его общим свойством. Это позволяет правильно выбирать элементы множества. Например, условие «числа, меньшие 5» задаёт общий признак отбора.

Тема опирается на чтение математических обозначений и сравнение элементов. Знаки ∈ и ∉ помогают записывать результат проверки кратко. Навык сопоставления объектов нужен при перечислении и поиске лишнего элемента.

Равенство множеств пригодится при изучении подмножеств и операций над множествами. Оно также помогает решать задачи на классификацию объектов. Чтобы объединять или пересекать множества, сначала нужно понимать их состав.

Что запомнить

• Множество состоит из элементов.
• Запись x ∈ A означает, что x — элемент A.
• Запись x ∉ A означает, что x не принадлежит A.
• Равные множества содержат одни и те же элементы.
• Порядок перечисления элементов не важен.
• Повтор элемента не меняет множество.
• Чтобы проверить равенство, нужно сравнить множества в обоих направлениях.