Урок 5. Точки и линии

Определения и обозначения

Точка — геометрическая фигура, которой обозначают точное место. Точки называют заглавными латинскими буквами: A, B, C. Это обозначение помогает точно указать положение объекта на чертеже.

Линия — геометрическая фигура, состоящая из точек. Линия может быть прямой или кривой: прямая идёт в одном направлении, а кривая меняет направление. Такое понятие позволяет описывать различные контуры и пути.

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца. Через любые две различные точки проходит единственная прямая, поэтому её можно назвать буквами этих точек. Например, прямая через A и B обозначается как прямая AB или прямая BA.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают его теми же двумя буквами, например AB. В отличие от прямой, отрезок имеет определённую длину, которую можно измерить.

Как это устроено

Точка помогает точно обозначить место на чертеже: например, положение вершины, конца отрезка или места пересечения линий. На бумаге её рисуют маленьким штрихом или кружком, потому что иначе невидимую точку нельзя было бы различить. Однако этот знак не означает настоящий размер точки. В геометрии размер точки не учитывают, чтобы рассуждать только о её положении.

Линия отличается от прямой тем, что это более общее понятие. Линия может изгибаться, а прямая не меняет направления и продолжается в обе стороны. Поэтому дуга, волнистый след и ровная черта могут быть линиями, но только ровная бесконечная линия является прямой. Различие нужно, чтобы правильно описывать форму и свойства фигуры.

Две различные точки задают единственное направление: через них нельзя провести две разные прямые, не совпадающие друг с другом. Поэтому прямую удобно обозначать буквами двух точек, лежащих на ней. Если на прямой отмечены A и B, пишут прямая AB или прямая BA. Порядок букв не меняет саму прямую, поскольку обе буквы называют одни и те же точки.

Отрезок получают, когда на прямой выбирают две точки и рассматривают только часть между ними. Эти точки становятся концами, поэтому фигура уже не продолжается бесконечно. Длину отрезка можно измерить линейкой, потому что расстояние между его концами конечно. Если отрезок разделён точкой C, его длина складывается из длин частей: AB = AC + CB.

Чертёж изображает геометрические фигуры условно. Проведённая карандашом или ручкой линия имеет толщину, а математическая прямая считается бесконечно тонкой. Кроме того, на листе показывают только небольшой участок прямой, хотя мысленно продолжают её в обе стороны. Поэтому рисунок помогает представить фигуру, но не передаёт все её свойства буквально.

Сравнение геометрических фигур

Сначала определите, о какой фигуре говорится, а затем посмотрите на её обозначение и границы. Особенно важно отличать бесконечную прямую от отрезка с двумя концами. Таблица помогает быстро сравнить фигуры по главным признакам.

Разбор задач

Задача 1

Условие: отметьте точки A и B и проведите через них прямую. Обозначьте её двумя способами. Нужно использовать точки, через которые проходит построенная фигура.

1. Поставьте на листе две разные точки и подпишите их A и B.
2. Приложите линейку так, чтобы её край проходил через обе точки.
3. Проведите линию в обе стороны дальше точек, чтобы получить прямую.
4. Запишите её обозначения: прямая AB и прямая BA.

Ответ: построена прямая AB; её также можно назвать прямой BA. Две записи обозначают одну и ту же прямую, потому что в них указаны одни и те же точки.

Задача 2

Условие: на прямой отмечены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Нужно назвать отрезки, которые получились. Точками A и C ограничен весь рассматриваемый участок, а B делит его на части.

1. Найдите пары точек, между которыми есть часть прямой.
2. Точки A и B образуют отрезок AB.
3. Точки B и C образуют отрезок BC.
4. Точки A и C образуют общий отрезок AC, включающий оба меньших отрезка.

Ответ: получились отрезки AB, BC и AC. Отрезки AB и BC являются частями отрезка AC, потому что точка B лежит между A и C.

Задача 3

Условие: отрезок AB имеет длину 7 см, точка C лежит на нём, AC = 3 см. Требуется найти CB. Поскольку C находится между концами, весь отрезок складывается из AC и CB.

1. Запишите сумму частей: AB = AC + CB.
2. Подставьте известные длины: 7 = 3 + CB.
3. Чтобы найти неизвестную часть, вычтите известную: CB = 7 − 3.
4. Выполните вычисление: CB = 4 см.

Ответ: длина отрезка CB равна 4 см. Проверка: 3 см + 4 см = 7 см, значит, найденная часть подходит.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что точка на чертеже имеет заметный размер. Её принимают за маленький предмет, потому что на бумаге виден кружок или штрих. Проверьте себя: этот знак только показывает положение, а размер точки в геометрии не учитывают.

Ошибка — называть прямую отрезком. Так происходит, когда ученик видит на рисунке ограниченный краями листа кусок линии. Проверьте наличие концов: у прямой их нет, а у отрезка есть две точки-конца.

Ошибка — считать, что прямая заканчивается у края листа. На самом деле лист ограничен, поэтому на нём показывают лишь часть бесконечной фигуры. Проверьте себя: мысленно продолжите прямую за пределы рисунка в обе стороны.

Ошибка — путать обозначение прямой и отрезка по двум буквам. Одни и те же буквы могут называть точки на разных фигурах, поэтому нельзя смотреть только на запись. Сначала определите по чертежу, есть ли у фигуры концы, а затем уточните её название.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь пользоваться линейкой и различать точки на чертеже. Это помогает аккуратно строить прямые и отрезки, а также читать их обозначения.

Представления о точках и отрезках понадобятся при изучении лучей, углов и многоугольников. Их элементы строятся и описываются с помощью уже знакомых фигур.

Измерение отрезков и их частей используется в геометрических и практических задачах. Например, по длине всего отрезка и одной части можно найти длину оставшейся части.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Линия бывает прямой или кривой.
• Прямая не имеет начала и конца.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Длину отрезка можно измерить.