Урок 6. Внутри. Вне. Между

Определения и обозначения

Точка внутри фигуры — точка, расположенная в области, ограниченной замкнутой линией. Проще говоря, граница окружает такую точку со всех сторон. Это понятие помогает определить, какие точки принадлежат внутренней области фигуры.

Точка вне фигуры — точка, расположенная за пределами фигуры. Она не попадает в область, которую ограничивает её граница. Такое определение нужно, чтобы отличать внешнее положение от внутреннего, даже если точка находится совсем рядом с фигурой.

Точка на границе фигуры — точка, лежащая на линии, ограничивающей фигуру. Она не считается точкой внутри или вне, потому что занимает саму границу. Это отдельный вид положения, который нужно отмечать при чтении чертежа.

Точка между двумя точками — точка, лежащая на отрезке между его концами. Например, если B находится между A и C, то все три точки лежат на одной прямой, а B расположена внутри отрезка AC. Такое понятие позволяет описывать порядок точек на прямой.

Как это устроено

Чтобы определить, находится ли точка внутри замкнутой фигуры, сначала нужно найти её границу. Затем проверяют, окружает ли эта граница точку и лежит ли сама точка не на линии, а в ограниченной области. Если из точки можно мысленно выйти наружу, не пересекая границу, она не находится внутри фигуры.

Точка вне фигуры располагается за её пределами, то есть не входит в ограниченную область. Точка внутри находится по одну сторону границы — в окружённой ею области, а точка на границе лежит прямо на линии. Поэтому положение определяют не по расстоянию до фигуры, а по тому, где проходит граница относительно точки.

Внутри, вне и на границе — разные положения, потому что они описывают разные части пространства около фигуры. Внутренняя область отделена от внешней границей, а сама граница не совпадает ни с одной из них. Если смешать эти понятия, можно неверно определить принадлежность точки фигуре.

Чтобы установить, находится ли одна точка между двумя другими, сначала проверяют, лежат ли все три точки на одной прямой. Затем мысленно соединяют крайние точки отрезком и смотрят, попадает ли рассматриваемая точка внутрь этого отрезка. Только одновременное выполнение обоих условий даёт положение «между».

Конечные точки отрезка не считаются точками между его концами, потому что они сами задают границы отрезка. Точка между концами должна находиться после одного конца и до другого. Поэтому A не находится между A и C, так же как C не находится между A и C.

Положение точки относительно фигуры и других точек

Пользуйтесь таблицей как проверочным алгоритмом: сначала определите, с чем сравнивается точка — с фигурой или с двумя точками. Затем проверьте границу, прямую и отрезок, а не только внешний вид чертежа. Пример в последнем столбце помогает сопоставить правило с конкретной ситуацией.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке даны замкнутая фигура и точки A, B, C: A расположена в области фигуры, B — за её пределами, C — на границе. Определите положение каждой точки. Нужно сопоставить каждую точку с границей, не путая внутреннюю область с самой ограничивающей линией.

1. Проверяем точку A: она лежит в области, которую окружает замкнутая линия, поэтому A находится внутри фигуры.
2. Проверяем точку B: она расположена за пределами ограниченной области и не лежит на линии, поэтому B находится вне фигуры.
3. Проверяем точку C: она лежит прямо на линии, ограничивающей фигуру, поэтому C находится на границе.

Ответ: A — внутри фигуры, B — вне фигуры, C — на границе фигуры.

Задача 2. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Запишите все пары точек, между которыми расположена точка B. Здесь важно учитывать обе стороны от B и не называть B точкой между самой собой и другой точкой.

1. Так как B лежит между A и C, одна подходящая пара — A и C.
2. Если поменять местами точки в паре, смысл положения не изменится, поэтому можно записать также C и A.
3. Пары A и B или B и C не подходят: в них точка B является концом отрезка, а не внутренней точкой.

Ответ: точка B расположена между точками A и C; без повторения порядка записывают пару A и C.

Задача 3. Из нескольких рисунков нужно выбрать те, где точка B находится между A и C, и объяснить остальные случаи. Для каждого рисунка применяем два условия: три точки лежат на одной прямой, а B находится внутри отрезка AC.

1. Выбираем рисунки, где A, B и C лежат на одной прямой, причём B расположена не с краю, а между A и C.
2. Если B лежит на одной прямой, но за пределами отрезка AC, такой рисунок не подходит: точка находится вне отрезка.
3. Если B расположена внутри области, образованной A и C, но точки не лежат на одной прямой, положение «между» тоже неверно.

Ответ: подходят только рисунки, на которых B лежит внутри отрезка AC; остальные нарушают хотя бы одно из двух условий.

Типичные ошибки

Точку на границе иногда называют точкой внутри, потому что она выглядит расположенной в пределах контура. Ошибка возникает при смешении области и линии, которая её ограничивает. Проверьте себя: если точка лежит на самой линии, называйте её точкой на границе.

Любую точку рядом с двумя другими иногда считают точкой между ними. Так происходит, если не проверять, лежат ли три точки на одной прямой. Проведите мысленную прямую и убедитесь, что рассматриваемая точка находится именно на отрезке.

Конец отрезка ошибочно принимают за точку между его концами. Конец задаёт границу отрезка и не занимает промежуточное положение. Проверьте, находится ли точка после одного конца и до другого.

Близость к фигуре иногда путают с положением относительно неё. Точка может быть совсем рядом, но лежать с внешней стороны границы. Для проверки определите, окружает ли точку граница, а не измеряйте расстояние до фигуры.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно различать точку, линию, отрезок, замкнутую фигуру и её границу. Эти знания позволяют правильно читать чертежи и понимать, относительно чего определяется положение точки. Без них легко спутать линию с областью или отрезок с прямой.

Дальше понятия внутри, вне и между пригодятся при описании расположения точек, отрезков и фигур на чертежах. Они связаны с построением отрезков, лучей и прямых, а также с изучением геометрических фигур и их элементов. Точные слова помогают объяснять построение и проверять результат.

Что запомнить

• Точка внутри фигуры находится в ограниченной её границей области.
• Точка вне фигуры расположена за её границей.
• Точка на границе не является ни точкой внутри, ни точкой вне фигуры.
• Точка между двумя точками лежит на отрезке между ними.
• Для положения «между» три точки должны лежать на одной прямой.
• Концы отрезка не считаются точками, расположенными между его концами.