Урок 3. Решение примеров

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Например, 12 + 3 · 4 — числовое выражение, в котором записана не одна, а целая последовательность вычислений. Это понятие помогает увидеть в записи не набор отдельных знаков, а план действий, который нужно выполнить.

Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий. Например, значение выражения 12 + 3 · 4 равно 24: сначала умножают 3 на 4, потом прибавляют 12. Поиск значения нужен, чтобы получить точный результат, который можно использовать в задаче или сравнить с другим числом.

Порядок действий — правила, которые определяют, в какой последовательности выполнять действия в выражении. Он нужен потому, что одна и та же запись при разной последовательности вычислений может дать разные ответы. Соблюдая эти правила, все решающие получают одинаковый результат.

Скобки — знаки, указывающие, какие действия нужно выполнить прежде остальных. Например, в записи 5 · (2 + 3) сначала складывают числа в скобках и только потом умножают. Скобки помогают изменить или уточнить последовательность вычислений, поэтому перед решением нужно найти их в выражении.

Как это устроено

Если в выражении записано только одно действие, начинать вычисление просто: выполняют именно его. Например, в 38 + 24 нужно сложить два числа, а полученная сумма и будет значением выражения. Здесь не требуется выбирать между несколькими действиями, зато можно сразу проверить результат обратным действием: из суммы вычесть одно слагаемое и получить другое.

Когда действий несколько и они относятся к одной ступени, их выполняют по порядку слева направо. К одной ступени относятся сложение и вычитание, а также умножение и деление. Например, в 20 − 6 + 2 сначала вычисляют 20 − 6, затем к результату прибавляют 2: нельзя произвольно начать с 6 + 2, потому что в выражении нет такой группы, заданной скобками.

Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что так определяется общий порядок вычислений. Например, в 5 + 2 · 6 сначала находят произведение 2 · 6, а затем прибавляют 5; ответ равен 17. Если начать со сложения, получится 42, то есть другое значение, поэтому одного чтения записи слева направо недостаточно: нужно учитывать ступени действий.

Действия в скобках выполняют раньше действий за скобками, поскольку скобки выделяют часть выражения, которую нужно рассчитать как отдельный шаг. Внутри скобок действуют те же правила: сначала умножают и делят, затем складывают и вычитают, а действия одной ступени выполняют слева направо. Например, в 3 · (4 + 2 · 5) сначала вычисляют 2 · 5, затем складывают результат с 4, и только потом умножают полученное число на 3.

Сложное выражение удобнее вычислять по шагам, каждый раз переписывая его с промежуточным результатом. Так видно, какое действие уже выполнено, а какие числа и знаки должны остаться; меньше риск случайно изменить исходную запись. После каждого перехода проверь, что выбранное действие было следующим по правилу, а вычисление выполнено верно. В конце можно прикинуть, разумен ли ответ: например, не получилось ли при вычитании число больше уменьшаемого.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей как планом: сначала найди скобки, затем определи, какие действия относятся к умножению и делению, а какие — к сложению и вычитанию. Если есть несколько действий одной ступени, отмечай их слева направо. После каждого шага заново посмотри на оставшуюся запись и выбери следующее действие по тем же правилам.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 38 + 24. В записи есть только сложение, поэтому дополнительных правил выбора действия не требуется. Сначала удобно сложить десятки и единицы: 30 + 20 = 50, а 8 + 4 = 12; затем сложить полученные части. Проверим сумму обратным действием, чтобы убедиться, что вычисление верно.

1. Складываем десятки: 30 + 20 = 50, а единицы: 8 + 4 = 12. Разбивка помогает не смешивать разряды и отдельно проверить каждую часть.
2. Объединяем результаты: 50 + 12 = 62. Следовательно, значение выражения равно 62.
3. Проверяем вычитанием: 62 − 24 = 38. Получили первое слагаемое, значит, сложение выполнено верно.

Ответ: 62.

Задача 2. Вычислите 48 : 6 + 7 · 3. Здесь есть деление, умножение и сложение. Начать со сложения нельзя: умножение и деление имеют более высокий приоритет и выполняются раньше. Деление и умножение стоят в разных частях выражения, поэтому сначала выполним оба этих действия, а затем сложим результаты.

1. Вычисляем деление: 48 : 6 = 8. Его результат занимает место делимого выражения в исходной записи.
2. Вычисляем умножение: 7 · 3 = 21. Теперь выражение принимает вид 8 + 21.
3. Складываем: 8 + 21 = 29. Поскольку других действий не осталось, это и есть значение выражения.

Ответ: 29.

Задача 3. Вычислите 72 − (18 + 6) : 4 · 5. Сначала нужно разобраться со скобками, поскольку они задают первый этап. После этого останутся деление и умножение одной ступени, которые выполняются слева направо. Вычитание стоит ниже по порядку, поэтому его оставим на конец.

1. Сначала считаем в скобках: 18 + 6 = 24. Записываем выражение заново: 72 − 24 : 4 · 5.
2. Выполняем деление: 24 : 4 = 6. Получаем 72 − 6 · 5; деление расположено левее умножения, поэтому его выполняем первым.
3. Вычисляем умножение: 6 · 5 = 30. Теперь осталось выражение 72 − 30.
4. Вычитаем: 72 − 30 = 42. Все действия выполнены в установленном порядке, значит, найдено значение выражения.

Ответ: 42.

Типичные ошибки

Выполнять все действия строго слева направо. Так ошибаются, когда читают запись как обычный текст и не учитывают ступени действий. Например, в 5 + 2 · 6 такой способ приводит к сложению раньше умножения. Проверь себя: до вычислений найди умножение и деление, которые стоят перед сложением и вычитанием.

Сначала выполнять сложение или вычитание, а потом умножение и деление. Такое случается, если ученик помнит правило неполностью или ориентируется только на расположение знаков. В результате меняется значение выражения. Перед решением напомни себе: умножение и деление имеют преимущество перед сложением и вычитанием, если скобки не задают иной порядок.

Не считать скобки приоритетными. Можно начать с действия снаружи скобок, особенно если оно стоит первым слева, но тогда выделенная часть не будет вычислена как положено. Проверь запись: прежде чем выбирать действие, найди все скобки и выполни выражение внутри них. Только после этого переходи к действиям за скобками.

Пропускать промежуточный шаг или неверно переписывать выражение. При вычислениях в уме легко потерять знак, число или уже полученный результат, а ошибка может остаться незаметной. Записывай выражение после каждого действия и сравнивай его с предыдущей строкой: измениться должны только выполненная часть и её результат. Затем отдельно проверь арифметику обратным действием, если это возможно.

Связь с другими темами

Чтобы решать выражения, нужно уверенно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел: правила порядка не заменяют сами вычислительные навыки. Тот же порядок действий используют в выражениях с буквами, когда вместо букв подставляют числа, и при решении уравнений. Пошаговые вычисления помогают проверять ответы в текстовых задачах: можно отдельно проверить каждый расчёт и понять, на каком этапе возникла ошибка.

Что запомнить

• Значение выражения получают, выполнив все указанные действия.
• Действия в скобках выполняют прежде действий вне скобок.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• Промежуточные результаты помогают проверять ход вычислений.
• Перед вычислением полезно определить порядок действий.