"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Числовые примеры помогают находить значение выражения, в котором записаны числа и действия: сложение, вычитание, умножение или деление. Чтобы получить правильный ответ, нужно учитывать скобки и соблюдать порядок действий. Если выполнять вычисления последовательно и проверять каждый шаг, проще не потерять промежуточный результат и обнаружить ошибку. Эти правила пригодятся и в более длинных вычислениях, и при решении задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и, иногда, скобок. Например, 12 + 3 · 2 — числовое выражение, а знак равенства в запись 12 + 3 · 2 = 18 добавляет утверждение о результате. Это понятие нужно, чтобы отличать саму запись для вычисления от уже найденного ответа.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. В примере 12 + 3 · 2 значение равно 18, потому что сначала умножают 3 на 2, а затем прибавляют 12. Понятие помогает точно сформулировать цель вычислений: не просто переписать выражение, а найти итоговое число.
Порядок действий — правила, которые определяют, в какой последовательности выполнять вычисления. Сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Эти правила нужны, чтобы у всех, кто решает один и тот же пример, получался одинаковый результат.
Скобки — знаки, которые выделяют часть выражения и указывают, что её нужно вычислить раньше остальных действий. Например, в записи 20 − (6 + 4) сначала находят сумму в скобках, а затем вычитают её из 20. Скобки помогают явно задать нужную последовательность вычислений.
Сначала найди в примере скобки и определи, какие действия находятся внутри них. Вычисли выражение в скобках, не меняя его порядок, и только потом переходи к остальной записи. Такой шаг нужен потому, что скобки объединяют числа и действия в отдельную часть выражения. Если начать считать снаружи, можно изменить смысл примера.
Если скобок нет или они уже раскрыты вычислением, найди умножение и деление. Выполняй эти действия слева направо: они имеют одинаковую очередность, поэтому деление не всегда нужно делать раньше умножения. Например, в записи 24 : 3 · 2 сначала делят 24 на 3, а затем умножают результат на 2. Если выполнять действия в ином порядке, можно получить другое число.
Когда умножение и деление закончены, переходи к сложению и вычитанию. Их также выполняют слева направо, потому что они имеют одинаковый приоритет. В примере 15 − 6 + 2 сначала вычисляют 15 − 6, а затем к результату прибавляют 2. Нельзя считать, что сложение всегда предшествует вычитанию или наоборот.
В длинном выражении удобно отмечать, какое действие выполняется следующим, и после каждого шага записывать новую строку. При этом вычисленную часть заменяют её значением, а остальные числа и знаки оставляют на месте. Так проще увидеть, не пропущено ли действие и не изменилось ли выражение случайно. Запись промежуточных результатов также помогает найти ошибку, если ответ оказался неожиданным.
Если в выражении несколько пар скобок, начинай с самой внутренней части и двигайся наружу. После вычисления внутреннего выражения его результат становится числом внутри внешних скобок. Этот способ нужен потому, что внешняя часть зависит от результата внутренней. Например, прежде чем вычитать сумму из числа, нужно сначала найти саму сумму.
Последний шаг — проверить вычисления. Можно пересчитать отдельные действия, оценить, разумен ли ответ, или воспользоваться обратным действием: например, проверить деление умножением. Проверка особенно полезна в длинных примерах, где одна неточность переносится на следующие шаги. Если промежуточные строки записаны аккуратно, легче понять, на каком именно шаге появилась ошибка.
| Что встречается в выражении | Когда выполнять | Как действовать |
|---|---|---|
| Действия в скобках | В первую очередь | Вычислять изнутри наружу |
| Умножение и деление | После скобок | Слева направо |
| Сложение и вычитание | В последнюю очередь | Слева направо |
Используй таблицу как короткий план: сначала проверь скобки, затем найди умножение и деление, а в конце выполни сложение и вычитание. Внутри каждой группы ориентируйся на направление слева направо. Если скобок несколько, прежде всего вычисляй внутренние.
Пример 1. Найти значение выражения 36 − 4 · (3 + 2). Здесь есть скобки, умножение и вычитание, поэтому нельзя начинать с первого действия слева. Сначала выясним, чему равна сумма в скобках, затем выполним действия, которые останутся. По такой последовательности видно, почему нельзя просто вычитать 4 из 36.
Ответ: 16. Проверим ход решения: скобки посчитаны первыми, умножение выполнено до вычитания. Если бы мы сначала нашли 36 − 4, получилось бы другое выражение и неверный результат. Значит, ключевым было сохранить установленный порядок действий.
Пример 2. Найти значение выражения 48 : 6 · 2 + 7 − 5. Скобок нет, но в записи встречаются действия разных уровней. Сначала нужно выполнить деление и умножение, причём слева направо; только затем перейти к сложению и вычитанию. Этот пример показывает, что действия одного уровня нельзя произвольно переставлять.
Ответ: 18. Для проверки посмотрим на исходную запись: деление и умножение действительно выполнены раньше сложения и вычитания. При этом деление стояло левее умножения, поэтому первым было именно оно. Затем оставшиеся действия также выполнены слева направо.
Выполнять все действия слева направо без учёта их вида. Так поступают, потому что читают пример как обычную строку и начинают с первого знака. Но умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания, если скобки не меняют этот порядок. Проверь себя: сначала отметь скобки, затем умножение и деление, и только потом остальные действия.
Считать умножение всегда раньше деления. Такая ошибка появляется, когда правило запоминают слишком коротко и упускают слова «слева направо». Умножение и деление равноправны по очередности, поэтому в записи 24 : 3 · 2 первым будет деление. Проверка простая: двигайся по выражению слева направо среди действий одного уровня.
Считать сложение всегда раньше вычитания. Это происходит по той же причине: запоминается название действия, но забывается порядок записи. В примере 15 − 6 + 2 сначала нужно вычесть, потому что знак вычитания стоит левее знака сложения. Чтобы проверить себя, выполни эти действия по порядку, не переставляя числа.
Пропускать скобки или терять промежуточный результат. При устных вычислениях легко начать с внешнего действия или неверно переписать часть выражения. Скобки требуют начать с выделенной части, а каждая новая строка должна отличаться от предыдущей только выполненным действием. Сверяй записи и подставляй полученное значение на то же место, где стояла вычисленная часть.
Правила решения примеров используются при вычислениях с натуральными числами, дробями и десятичными числами: меняются сами числа, но порядок действий остаётся важным. Эти же навыки помогают находить значение выражений с буквами после подстановки чисел вместо букв. В текстовых задачах действия сначала выбирают по условию, а затем выполняют вычисления по правилам порядка действий. Поэтому аккуратная запись промежуточных шагов пригодится и в арифметике, и в дальнейшей математике.
Урок 2. Решение примеров
