Урок 5. Прямая и её имя

Определения и обозначения

Точка — геометрический объект, который обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. На чертеже точку отмечают, чтобы точно указать положение объекта. Буква помогает отличить её от других точек и назвать в рассуждении.

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца. Её нельзя целиком разместить на листе, поэтому на чертеже показывают только часть линии. Видимые края такого изображения не являются концами прямой.

Прямую можно обозначить по двум лежащим на ней точкам, например AB, или одной строчной латинской буквой, например a. В первом случае название составляют из букв точек, которые отмечены именно на этой прямой. Обозначения нужны, чтобы коротко называть объект и не перепутать его с другими линиями.

Точка может принадлежать прямой, то есть лежать на ней, или не принадлежать ей. Запись A ∈ a означает, что точка A лежит на прямой a, а B ∉ a — что точка B на ней не лежит. Эти знаки позволяют точно описать положение точки относительно прямой.

Как это устроено

Прямая бесконечна, а лист бумаги имеет ограниченный размер, поэтому показать всю прямую на рисунке невозможно. Изображают лишь её участок и мысленно продолжают его в обе стороны. Это условное продолжение нужно, чтобы отличать прямую от отрезка, у которого есть два конца. Поэтому, увидев прямую на чертеже, не считай края линии её началом и концом.

Если на прямой отмечены точки A и B, её можно назвать прямой AB. Обе точки должны действительно лежать на линии: иначе название указывало бы на другую пару объектов, а не на данную прямую. Порядок букв не меняет прямую, поэтому AB и BA называют одну и ту же линию. Название по точкам связывает геометрический объект с конкретными отметками на чертеже.

Иногда прямую обозначают одной строчной буквой, например a. Если на чертеже у линии есть такая буква, она служит её коротким именем; по двум отмеченным на этой же линии точкам можно назвать её и иначе. Например, если A и B лежат на a, то прямая AB и прямая a — один объект. Перед использованием буквы проверь, к какой именно линии она относится на рисунке.

Через любые две различные точки проходит единственная прямая. Это свойство означает, что две точки однозначно задают линию: при построении достаточно отметить их и провести через обе прямую. Если бы через одну и ту же пару точек проходили разные прямые, построение не определяло бы, какую из них выбрать. По этой же причине, проверяя название прямой, нужно убедиться, что обе названные точки лежат на ней.

Знак ∈ читают «принадлежит», а знак ∉ — «не принадлежит». В записи A ∈ a буква A называет точку, а a — прямую, на которой она расположена; в записи B ∉ a точка B находится вне этой прямой. Чтобы описать рисунок символами, сначала найди точку и нужную линию, затем сравни их положение. Так запись превращается в короткое и однозначное описание чертежа.

Как обозначают прямую и описывают положение точки

Сначала определи, что именно нужно назвать: прямую или положение точки. Для прямой используй либо две точки на ней, либо строчную букву с чертежа. Для положения точки выбери знак ∈ или ∉, проверив, лежит ли отметка на линии.

Разбор задач

Задача 1

На прямой a отмечены точки A и B. Нужно записать имя этой прямой двумя способами. Первый способ использует точки, второй — букву, указанную на чертеже. Поскольку обе точки лежат на a, их можно использовать в названии.

1. Проверяем чертёж: точки A и B расположены на одной прямой.
2. Называем эту прямую по точкам: прямая AB.
3. Используем строчную букву, подписанную у линии: прямая a.

Обе записи относятся к одному объекту, а не к разным прямым. Ответ: прямая AB и прямая a.

Задача 2

Нужно изобразить точки M и N, провести через них прямую и обозначить её двумя способами. По условию точки должны быть различными, иначе свойство о единственной прямой через две точки применить нельзя. Сначала строим линию, а затем выбираем для неё обозначения.

1. Отмечаем на листе две различные точки и подписываем их M и N.
2. Проводим через обе отметки прямую, продолжая её изображение в обе стороны за точки.
3. Обозначаем линию по точкам как прямую MN; дополнительно подписываем её строчной буквой, например a.

Через M и N проходит одна прямая, поэтому выбор линии однозначен. Буква a здесь выбрана для обозначения прямой и не заменяет заглавные буквы точек. Ответ: прямая MN и прямая a.

Задача 3

Прямая CD обозначена буквой k; точка P лежит на ней, а Q находится вне её. Нужно передать все сведения символами и объяснить записи. Здесь важно не смешать имя прямой по точкам с её строчной буквой. Точки C и D задают прямую, а P и Q показывают положение относительно неё.

1. Записываем два имени одной линии: прямая CD и прямая k.
2. Так как P лежит на этой прямой, записываем P ∈ k.
3. Так как Q расположена вне неё, записываем Q ∉ k.

Запись CD = k в таком школьном контексте можно понимать как указание на одну и ту же прямую, но для именования достаточно назвать оба обозначения словами. Символ ∈ сообщает о принадлежности точки, а ∉ — об отсутствии принадлежности. Ответ: прямая CD обозначена k; P ∈ k, Q ∉ k.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать прямую по точке, которая расположена вне неё. Такое случается, когда ученик смотрит только на подписи и не проверяет чертёж. Перед записью названия найди обе точки и убедись, что каждая лежит на линии. Если хотя бы одна точка вне линии, пара не может служить её именем.

Заглавную букву точки иногда путают со строчной буквой прямой: например, принимают A и a за одинаковые обозначения. Причина — буквы похожи, хотя они называют разные объекты. Проверяй регистр и подпись: заглавная латинская буква обозначает точку, строчная может обозначать прямую. Сверь запись с тем, что именно отмечено на рисунке.

Видимый участок прямой могут принять за отрезок с концами. Ошибка возникает потому, что линия на листе обрывается у его края или в месте, где её перестали рисовать. Помни, что рисунок показывает только часть бесконечной прямой, и мысленно продолжай её в обе стороны. У отрезка концы являются частью объекта, у прямой таких концов нет.

Неверно утверждать, что через одну точку проходит только одна прямая. Возможно, так думают, потому что на чертеже нарисована лишь одна выбранная линия. Через одну точку можно провести прямые во многих направлениях, а единственная прямая определяется двумя различными точками. Проверь, есть ли в условии вторая точка: без неё однозначно задать прямую нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с прямой нужно различать точку и отрезок, отмечать точки и читать буквенные подписи на чертеже. Эти умения помогают правильно понимать геометрические записи и строить фигуры. Позже обозначения прямых пригодятся при изучении отрезков, лучей и пересечения прямых. Они также нужны в построениях, где линию задают по известным точкам.

Что запомнить

• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• На чертеже прямую изображают только частично.
• Точки обозначают заглавными латинскими буквами.
• Прямую можно назвать по двум точкам, лежащим на ней.
• Прямую также можно обозначить строчной латинской буквой.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Запись A ∈ a означает, что точка A лежит на прямой a.