Урок 7. Отрезок и его имя

Определения и обозначения

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Точки, которыми он ограничен, входят в отрезок, как и все точки прямой между ними. Это определение помогает отличать отрезок от части прямой, из которой случайно убрали крайние точки.

Концы отрезка — две точки, которыми он ограничен. Они задают, где отрезок начинается и заканчивается, и помогают точно определить, какую часть прямой рассматривают. Остальные точки отрезка лежат между концами и не ограничивают его.

Имя отрезка — название, составленное из букв, которыми обозначены его концы. Такое имя нужно, чтобы отличать один отрезок от других на чертеже и записывать его в решении. Например, если концам даны имена A и B, отрезок можно назвать AB.

Обозначение отрезка — запись двумя заглавными латинскими буквами, например AB. Буквы называют концы, а их порядок можно изменить: BA обозначает тот же отрезок. Заглавные буквы помогают отличать обозначения точек и отрезков от других записей.

Как это устроено

Чтобы получить отрезок из прямой, на ней отмечают две точки. Затем рассматривают не всю прямую, а только её часть между отмеченными точками, включая сами точки. Концы нужны как границы: если их не учитывать, получилась бы часть прямой без обозначенных крайних точек, а не отрезок в принятом смысле.

У отрезка именно два конца, потому что его задают две точки-границы. Точки внутри отрезка не ограничивают его: по обе стороны от каждой такой точки на том же отрезке остаются другие точки. Чтобы проверить, является ли точка концом, нужно посмотреть, служит ли она одной из двух границ отрезка; точки между границами концами не являются.

Отрезок называют по именам его концов: если на чертеже границы отмечены буквами C и D, говорят «отрезок CD». Заглавные латинские буквы используют для обозначения точек, а имя отрезка составляют именно из букв его концов. Так по записи можно понять, какие точки задают рассматриваемую часть прямой.

Обозначения AB и BA называют один и тот же отрезок, потому что в обоих случаях названы концы A и B. От перестановки букв точки не перемещаются и границы отрезка не меняются. Поэтому порядок записи не задаёт направление движения, а только перечисляет два конца.

Чтобы правильно назвать отрезок по чертежу, сначала найдите две точки, которыми он ограничен. Затем прочитайте их заглавные буквы и запишите обе, не добавляя буквы других точек, лежащих внутри. Если на отрезке есть промежуточные точки, имя всего отрезка всё равно составляют по его крайним точкам.

Отрезок и его обозначение

Сначала определите, какую часть прямой рассматриваете, а затем найдите её два конца. По буквам концов можно записать имя отрезка; порядок букв значения не имеет.

Строка про порядок букв напоминает, что обозначение не задаёт направление. Если на чертеже отмечены промежуточные точки, не принимайте их за концы всего отрезка.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Назовите отрезок, соединяющий их.

1. Находим две указанные точки: A и B.
2. Проверяем, что именно они являются концами нужного отрезка.
3. Записываем их заглавные буквы вместе. Буквы можно поставить в любом порядке.

Ответ: отрезок AB, или BA.

Задача 2. Точки M, K и P лежат на одной прямой, причём K находится между M и P. Назовите отрезки, изображённые на рисунке.

1. Определяем крайние точки всей изображённой части: это M и P, поэтому весь отрезок называется MP.
2. Точка K делит его на две части. У одной части концы M и K, у другой — K и P.
3. Называем эти части MK и KP. Точка K — конец каждой из частей, но не конец всего отрезка MP.
4. Проверяем, что не перепутали целое и его части: MP включает обе части и точку K.

Ответ: отрезки MP, MK и KP.

Задача 3. Начертите отрезок с концами C и D, обозначьте его и запишите другое обозначение того же отрезка.

1. Отмечаем на листе две точки и подписываем их заглавными буквами C и D.
2. Соединяем точки прямой линией только между ними, включая сами точки; получаем отрезок с концами C и D.
3. Записываем имя по буквам концов: CD. Меняем порядок букв, не меняя чертёж.
4. Убеждаемся, что обе записи называют одни и те же точки и потому обозначают одну часть прямой.

Ответ: отрезок CD; другое обозначение — DC.

Типичные ошибки

Не включать концы в отрезок. Иногда отрезком называют только точки между границами, потому что мысленно убирают крайние точки. Проверьте себя: отметьте обе граничные точки и убедитесь, что они тоже принадлежат отрезку.

Добавлять в имя букву промежуточной точки. Так происходит, если любую букву на чертеже принимают за часть имени. Имя всего отрезка составляют по его концам; проверьте, что названные буквы стоят на границах именно этого отрезка.

Считать AB и BA разными отрезками. Буквы читаются в разном порядке, поэтому кажется, будто изменилось название объекта. Сравните концы: в обеих записях это A и B, значит, отрезок тот же.

Путать отрезок с прямой. Их изображают линией, поэтому можно не заметить разницу. У отрезка есть два конца, а прямая не ограничена и продолжается в обе стороны; проверяйте, отмечены ли границы рассматриваемой части.

Связь с другими темами

Для работы с отрезками нужно уметь различать точку и прямую, а точки обозначать заглавными латинскими буквами. Если не распознавать обозначения, будет трудно определить концы и правильно назвать отрезок. Позже это понятие пригодится при изучении длины, сравнения и измерения отрезков. Отрезки также используют, когда строят и описывают геометрические фигуры.

Что запомнить

• Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
• Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами.
• Концы отрезка входят в него.
• Отрезок обозначают буквами его концов.
• В обозначении отрезка используют заглавные латинские буквы.
• Записи AB и BA обозначают один и тот же отрезок.