"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Числовое выражение в несколько действий содержит числа, соединённые знаками сложения, вычитания, умножения или деления. Чтобы получить его значение, недостаточно считать подряд слева направо: сначала учитывают скобки, затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Такой порядок помогает получать верный результат и записывать решение по шагам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — это запись, составленная из чисел и знаков арифметических действий: например, 8 + 5 или 24 : 6. По такой записи выполняют указанные действия и получают результат. Понимание выражения помогает правильно читать пример и не пропускать ни одного знака.
Выражение в несколько действий — выражение, в котором числа соединены двумя или более арифметическими действиями. Например, 12 + 3 · 4 содержит сложение и умножение. Для него нужно не только знать таблицу вычислений, но и определить, какое действие будет первым.
Порядок действий — правило, которое определяет, в какой последовательности выполнять действия в выражении. Он нужен потому, что одна и та же запись при разной последовательности вычислений может дать разные результаты. Соблюдение правила делает ответ однозначным и правильным.
Значение выражения — число, полученное после выполнения всех действий в выражении. Например, значение выражения 7 + 2 · 3 равно 13, потому что сначала находят произведение 2 · 3. Это число и записывают в качестве ответа.
Выражение в несколько действий нельзя всегда считать слева направо, потому что арифметические действия имеют разный приоритет. Если выполнить сложение раньше умножения, изменится часть вычисления, а вместе с ней и общий результат. Например, в записи 5 + 2 · 3 сначала находят 2 · 3, поэтому получают 11, а не 21. Заранее установленный порядок позволяет всем одинаково понимать одну и ту же запись.
Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, а умножение и деление выполняют раньше них. Поэтому в выражении 20 − 4 · 3 сначала вычисляют произведение 4 · 3, а затем вычитают полученное число из 20. Причина такого правила связана со смыслом действий: умножение заменяет несколько одинаковых слагаемых, поэтому его нужно выполнить до объединения или уменьшения результата. Так последующие действия используют уже готовый промежуточный результат.
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, потому что ни одно из этих действий не является автоматически главным. Если они встречаются вместе, их выполняют слева направо: в выражении 48 : 6 · 2 сначала делят 48 на 6, затем умножают результат на 2. Сложение и вычитание тоже равноправны. Поэтому в записи 17 − 5 + 4 сначала выполняют вычитание, а затем сложение.
Скобки изменяют обычный порядок действий, потому что выделяют часть выражения, которую нужно рассмотреть первой. Сначала вычисляют всё, что находится внутри скобок, и только потом действуют с полученным числом. Если скобок несколько, начинают с внутренних, когда одни скобки находятся внутри других. После скобок снова применяют обычное правило: умножение и деление, затем сложение и вычитание.
| Ситуация | Что выполняется первым | Как действовать дальше |
|---|---|---|
| Выражение без скобок с умножением или делением | Умножение и деление слева направо | Затем сложение и вычитание слева направо |
| Выражение без скобок только со сложением и вычитанием | Действия выполняются слева направо | После каждого действия используют полученный промежуточный результат |
| Выражение со скобками | Сначала действия в скобках | Затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание |
| Несколько пар скобок | Сначала обрабатывают внутренние скобки | Затем переходят к действиям вне скобок |
Сначала найдите скобки и отметьте действия умножения или деления. Затем двигайтесь слева направо внутри выбранного уровня и заменяйте выполненное действие его результатом. В конце проверьте, что в выражении не осталось невыполненных действий.
Вычислим значение выражения 18 + 24 : 6 − 3. Сначала ищем действие второй ступени, потому что деление выполняется раньше сложения и вычитания. После него оставшиеся действия имеют одинаковый приоритет.
Ответ: 19.
Вычислим значение выражения 56 − (18 + 6) : 4. Скобки требуют сначала найти сумму внутри них, а уже затем использовать её как делимое. После деления останется выполнить вычитание.
Ответ: 50.
Вычислим значение выражения 120 : (5 + 3 · 2) + 7 · 4 − 18. В скобках сначала нужно выполнить умножение, затем сложение; одновременно с этим можно найти произведение 7 · 4. После этого останутся деление, сложение и вычитание, которые выполняются по правилу.
Ответ: 20 10/11.
Считать всё слева направо. Так делают по привычке, перенося правило выражений только со сложением и вычитанием. Проверьте, не осталось ли слева умножение или деление, которое нужно выполнить раньше.
Начать с действия вне скобок. Скобки принимают за обычный знак и забывают их особое назначение. Обведите скобки глазами и сначала замените их содержимое одним результатом.
Нарушить порядок равноправных действий. Иногда умножение пытаются выполнять раньше деления, а сложение — раньше вычитания. Читайте такие действия слева направо и после каждого шага подставляйте новый результат.
Записать только конечный ответ. Тогда трудно понять, на каком шаге появилась ошибка и соблюдался ли порядок действий. Записывайте промежуточные вычисления и сверяйте их с исходной записью.
До этой темы нужны таблица умножения, правила сложения, вычитания, умножения и деления, а также понимание скобок. Порядок действий помогает решать текстовые задачи, уравнения и примеры с величинами. Позже тот же навык понадобится в буквенных выражениях и формулах, где числа заменяются буквами.
Почему нельзя вычислять пример всегда слева направо?
У арифметических действий разный приоритет. Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, поэтому при счёте только слева направо можно получить неверное значение.
Что делать первым, если в выражении есть и умножение, и деление?
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Поэтому выполняют то из них, которое стоит левее, а затем переходят к следующему такому действию.
Зачем нужны скобки в числовом выражении?
Скобки показывают, какую часть выражения нужно вычислить первой. Они могут изменить обычный порядок действий и повлиять на конечный результат.
Как поступать, если в выражении несколько пар скобок?
Сначала вычисляют выражения во внутренних скобках, если скобки вложены. После этого выполняют действия в оставшихся скобках, а затем действия вне скобок.
Нужно ли записывать промежуточные действия или достаточно ответа?
Лучше записывать решение по отдельным действиям. Промежуточные результаты помогают увидеть порядок вычислений, найти ошибку и проверить ответ.
Урок 7. Примеры о несколько действий
