Урок 9. Треугольник

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник, образованный тремя точками, не лежащими на одной прямой, и соединяющими их отрезками. Точки соединяют попарно, поэтому получается замкнутая фигура с тремя углами. Это определение помогает отличить треугольник от нескольких отрезков, которые не образуют замкнутую область.

Вершины треугольника — три точки, в которых соединяются его стороны. Их обозначают заглавными буквами, поэтому треугольник можно назвать ABC. По этим буквам удобно описывать стороны и углы фигуры.

Стороны треугольника — отрезки, соединяющие его вершины. В треугольнике ABC это стороны AB, BC и CA, причём каждая сторона связывает две соседние вершины. Названия сторон нужны, чтобы измерять их длины и находить периметр.

Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон. Если стороны имеют длины a, b и c, то периметр записывают так: P = a + b + c. Это позволяет узнать длину границы треугольника.

Как это устроено

Для треугольника нужны три точки, не лежащие на одной прямой, потому что только тогда они задают три разных направления соединения. Если точки расположены на одной прямой, углы не образуются и замкнутая фигура не получается. Поэтому условие о расположении точек является частью определения, а не случайным ограничением.

Каждую пару из трёх вершин соединяют отдельным отрезком: первую со второй, вторую с третьей и третью с первой. Так появляются все три стороны и замыкается граница фигуры. В обозначении ABC буквы перечисляют вершины по порядку обхода треугольника, поэтому после AB идёт BC, а затем CA.

По записи ABC можно назвать вершины A, B и C, стороны AB, BC и CA, а углы — ∠A, ∠B и ∠C. В названии угла буква его вершины обычно ставится в середине: угол ABC имеет вершину B. Если назвать треугольник ACB, фигура не изменится, но последовательность обхода вершин будет другой.

Периметр находят сложением, потому что он обозначает всю длину границы фигуры. Граница треугольника состоит ровно из трёх сторон, поэтому пропуск хотя бы одной стороны даёт неполный результат. Сначала нужно привести длины к одной единице измерения, а затем выполнить сложение.

По сторонам треугольники различают по количеству равных длин: равносторонний имеет три равные стороны, равнобедренный — две, разносторонний — три разные. По углам смотрят не на длины, а на величину углов: все острые углы дают остроугольный треугольник, прямой угол — прямоугольный, а тупой — тупоугольный. Один и тот же треугольник можно одновременно классифицировать по обоим признакам.

Виды треугольников по сторонам и углам

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определите, по какому признаку нужно классифицировать фигуру: по сторонам или по углам. Затем сравните данные треугольника с отличительным признаком в третьем столбце. При необходимости назовите два вида сразу, например равнобедренный прямоугольный треугольник.

Разбор задач

Задача 1

Назовите вершины, стороны и углы треугольника KLM. Сначала используем буквы в его названии, а затем составим названия отрезков и углов. Для угла буква вершины должна стоять в середине обозначения.

1. Вершины — K, L и M.
2. Стороны — KL, LM и MK.
3. Углы можно назвать ∠K, ∠L и ∠M; также угол при L записывают как ∠KLM.

Ответ: вершины K, L, M; стороны KL, LM, MK; углы ∠K, ∠L, ∠M.

Задача 2

Стороны треугольника равны 4 см, 6 см и 7 см. Периметр — это не длина одной выбранной стороны, а общая длина границы, поэтому нужно учесть все три числа. Единицы измерения уже одинаковы, дополнительное преобразование не требуется.

1. Записываем формулу: P = a + b + c.
2. Подставляем длины сторон: P = 4 см + 6 см + 7 см.
3. Складываем: P = 17 см.

Ответ: 17 см.

Задача 3

Две стороны треугольника равны 5 см, третья сторона — 8 см, а один угол равен 90°. Вид по сторонам и вид по углам определяем отдельно. Равные стороны дают один признак, а прямой угол — другой.

1. Так как две стороны равны 5 см, треугольник равнобедренный.
2. Так как один угол равен 90°, треугольник прямоугольный.
3. Объединяем признаки: получаем равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: треугольник равнобедренный и прямоугольный.

Типичные ошибки

Иногда треугольником называют три отрезка, соединённые не по кругу. Такая фигура не имеет замкнутой границы, потому что не соединена последняя пара вершин. Проверьте, есть ли отрезки между каждой парой из трёх точек.

Вершину и сторону иногда путают из-за буквенных обозначений. Вершина — это точка, а сторона — отрезок между двумя вершинами. Для проверки спросите себя: называю я место соединения или линию между такими местами?

Некоторые считают треугольник равнобедренным только тогда, когда на рисунке равны нижние стороны. Положение фигуры на листе ничего не меняет, а равенство определяется длинами сторон. Сравнивайте измерения или данные условия, а не внешний вид чертежа.

При вычислении периметра иногда складывают две стороны или забывают единицу измерения. Периметр включает все три стороны, а результат должен иметь ту же единицу длины. Перед ответом перечислите три слагаемых и проверьте их обозначения.

Связь с другими темами

Для изучения треугольника нужно уметь распознавать отрезки и углы, измерять их и записывать длины с единицами. Эти навыки помогают читать чертежи и правильно выполнять вычисления. Без них трудно определить стороны и вид треугольника.

Понятия треугольника и его периметра связаны с изучением других многоугольников. По такому же принципу находят периметры фигур с большим числом сторон. Позже эти знания пригодятся при решении задач о длине границы участка или предмета.

Классификация треугольников по сторонам и углам нужна для изучения свойств фигур. Она помогает выбирать подходящий способ рассуждения при решении геометрических задач. По этим признакам можно сравнивать треугольники и находить неизвестные элементы.

Что запомнить

• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Треугольник обозначают тремя заглавными буквами.
• Периметр равен сумме длин трёх сторон.
• Равносторонний треугольник имеет три равные стороны.
• Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
• Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
• Треугольники можно классифицировать и по сторонам, и по углам.