14. Сравнение двузначных чисел

Определения и обозначения

Двузначное число — это число, которое записывается двумя цифрами и состоит из десятков и единиц. Например, 47 означает сорок семь: в числе есть полные десятки и отдельные единицы. Такое представление помогает не путать значение числа со значением каждой цифры. Оно нужно, чтобы сравнивать числа не наугад, а по их составу.

Разряд десятков — это место, которое занимает цифра десятков в записи двузначного числа. Она стоит слева и показывает, сколько в числе десятков: в 47 цифра 4 означает четыре десятка. Благодаря этому разряду можно сразу понять, сколько полных групп по десять содержит число. При сравнении именно с него начинают, потому что десятки задают основную часть двузначного числа.

Разряд единиц — это место для цифры, которая показывает число отдельных единиц. В двузначной записи она стоит справа: у числа 47 цифра 7 обозначает семь единиц. Этот разряд уточняет число после того, как учтены десятки. Поэтому единицы используют для сравнения, если количество десятков у чисел совпадает.

Сравнить два числа — значит определить, какое из них меньше, больше или равняется другому. Знак < читают «меньше», знак > — «больше», а знак = означает равенство; например, 36 < 63. Открытая сторона знака < или > обращена к большему числу. Эти обозначения нужны, чтобы коротко и однозначно записать результат сравнения.

Как это устроено

Запись числа можно разложить на сумму десятков и единиц. Например, 47 = 40 + 7: число содержит четыре десятка и ещё семь единиц. Такое разложение показывает, какую часть числа задаёт каждая цифра. Оно помогает понять, почему положение цифры важно: 4 в разряде десятков означает 40, а не просто 4.

При сравнении двузначных чисел сначала сравнивают цифры десятков. Например, в 36 три десятка, а в 63 — шесть, поэтому 63 больше, хотя у 36 цифра единиц больше. Причина в том, что разница даже в один десяток равна десяти единицам и не может быть перекрыта цифрой единиц от 0 до 9. Значит, большее количество десятков сразу делает больше и всё число.

Если цифры десятков совпали, сравнивают цифры единиц. Например, у 74 и 79 по семь десятков, поэтому их десятки дают одинаковую часть числа — 70. Остаётся сравнить 4 и 9: девять единиц больше четырёх, значит, 79 больше 74. Так единицы помогают выбрать большее число только тогда, когда десятки не дали различия.

После определения большего числа нужно правильно выбрать знак. Если первое число меньше второго, записывают знак <: 36 < 63; если больше — знак >: 63 > 36. Проверить себя можно чтением записи слева направо: фраза должна быть верной, например «36 меньше 63». У знака < остриё направлено к меньшему числу, а открытая сторона — к большему.

Те же сравнения видны на координатном луче — прямой с отмеченными числами, которая начинается у нуля и направлена вправо. Чем дальше точка расположена вправо, тем больше соответствующее число, поэтому 63 находится правее 36. Если две точки совпадают, числа равны. Луч позволяет наглядно проверить результат, особенно когда нужно расположить несколько чисел по порядку.

Правила сравнения двузначных чисел

Сначала найдите подходящий случай в первом столбце, а затем посмотрите, какие разряды проверять. Если десятки различаются, до единиц доходить не нужно. Если совпали обе цифры, числа записаны одинаково и равны.

Разбор задач

Задача: сравните 36 и 63. На первый взгляд можно обратить внимание на цифры единиц: у 36 это 6, у 63 — 3. Но начинать с единиц нельзя, пока не выяснили, совпадают ли десятки. Сравнение разрядов подскажет, какое число больше, и поможет не отвлечься на второстепенное различие.

1. Сравним цифры десятков: у 36 это 3, у 63 — 6.
2. Так как 3 меньше 6, число 36 содержит меньше десятков.
3. Запишем результат: 36 < 63. Открытая сторона знака обращена к 63, большему числу.

Ответ: 36 < 63. Разница в десятках сразу определила результат, поэтому сравнивать цифры единиц для решения не требовалось. Проверка чтением даёт верную фразу: «36 меньше 63».

Задача: сравните 74 и 79. Здесь цифры десятков одинаковы, поэтому они не помогают выбрать большее число. Обе записи содержат семь десятков, то есть одинаковую часть 70. Сравним оставшиеся единицы и по ним определим знак.

1. Сравним цифры десятков: 7 и 7, они равны.
2. Перейдём к единицам: 4 меньше 9.
3. Значит, меньшее число — 74, а большее — 79; ставим знак <: 74 < 79.

Ответ: 74 < 79. Проверить запись можно словами: «74 меньше 79». Также на числовом луче 79 будет расположено правее 74.

Задача: расположите числа 58, 85, 55 и 80 в порядке возрастания. Возрастание означает движение от меньшего числа к большему. Сначала удобно разделить числа по количеству десятков: 58 и 55 содержат пять десятков, а 85 и 80 — восемь. Внутри каждой пары с одинаковыми десятками понадобится сравнить единицы.

1. Сравним десятки: числа с пятью десятками меньше чисел с восемью десятками.
2. Среди чисел 58 и 55 сравним единицы: 5 < 8, значит, 55 < 58.
3. Среди чисел 85 и 80 сравним единицы: 0 < 5, значит, 80 < 85.
4. Запишем сначала меньшую пару, затем большую: 55, 58, 80, 85.

Ответ: 55, 58, 80, 85. При проверке каждый следующий элемент должен быть больше предыдущего. Сравнение десятков разделило числа на две группы, а единицы установили порядок внутри каждой группы.

Типичные ошибки

Ошибка: сравнивать числа по цифрам единиц, не проверив десятки. Так можно решить, что 36 больше 63, потому что 6 больше 3, хотя у 63 больше десятков. Ошибку допускают, когда смотрят только на правую цифру. Проверь себя: сначала сравни цифры слева и переходи к единицам лишь при их равенстве.

Ошибка: считать, что число с большей цифрой единиц всегда больше. Например, в 52 единиц меньше, чем в 49, но само число 52 больше из-за пяти десятков. Иногда единицы заметнее, и внимание сосредоточивается на них. Для проверки сопоставь сначала десятки: при их различии именно они решают результат.

Ошибка: перепутать, какая цифра показывает десятки, а какая — единицы. Например, в числе 47 цифра 4 слева обозначает десятки, а 7 справа — единицы. Такое случается, если забыть, что значение цифры зависит от её места. Проверь себя, разложив число на сумму: 47 = 40 + 7.

Ошибка: поставить знак сравнения в обратную сторону. Например, запись 36 > 63 неверна, хотя само сравнение чисел было выполнено правильно. Так бывает, когда ученик помнит ответ, но путает направление знака. Прочитай запись словами: должно получиться «36 меньше 63»; открытая сторона знака при этом обращена к большему числу.

Связь с другими темами

Перед сравнением полезно знать названия разрядов двузначного числа и уметь считать десятками и единицами. Тогда понятно, почему левая цифра показывает количество десятков, а правая — единиц. Разложение числа на десятки и единицы помогает применять правило осмысленно, а не просто заучивать порядок действий.

Сравнение нужно, когда требуется упорядочить числа, решить задачу или определить, какое число больше на числовом луче. Например, для списка чисел можно найти сначала наименьшее, а затем расположить остальные по возрастанию. На луче результат сравнения проверяется по положению точек: правее находится большее число.

Знакомство с разрядным способом сравнения готовит к работе с многозначными числами. Там тоже начинают со старших разрядов, а к следующим переходят, если предыдущие совпали. Для двузначных чисел таким первым разрядом служат десятки, а для многозначных будут важны и более крупные разряды.

Что запомнить

• Двузначное число состоит из десятков и единиц.
• При сравнении двузначных чисел сначала сравнивают цифры десятков.
• Число с большей цифрой десятков больше.
• Если цифры десятков равны, сравнивают цифры единиц.
• Одинаковые цифры в обоих разрядах означают равные числа.
• Знак «<» открытой стороной обращён к большему числу.