36. Умножение и деление с числом 3

Определения и обозначения

Умножение на 3 — это сложение трёх одинаковых слагаемых. Например, 3 · 4 означает 4 + 4 + 4, а не 3 + 4. Такая запись удобна, когда одно и то же количество повторяется несколько раз: вместо длинной суммы можно записать произведение.

Тройка — число, на которое умножают или на которое делят. В записи 3 · a число 3 показывает, сколько раз берётся число a, а в записи b : 3 число 3 указывает, на сколько равных частей делят b или какого размера группы ищут. По положению числа в выражении можно понять, какую роль оно играет.

Деление на 3 — действие, которое означает разделение на три равные части или выяснение, сколько групп по 3 содержится в числе. Например, 12 : 3 может отвечать на вопрос о количестве предметов в каждой из трёх частей или о числе троек в 12. Смысл действия уточняют по условию задачи, чтобы верно назвать ответ.

Таблица умножения на 3 — набор равенств от 3 · 1 до 3 · 10. Каждому равенству соответствует деление произведения на 3: если 3 · 6 = 18, то 18 : 3 = 6. Таблица нужна для быстрого вычисления произведений и частных без повторного сложения.

Как это устроено

Умножение на 3 можно заменить сложением трёх одинаковых чисел: 3 · 4 = 4 + 4 + 4 = 12. Это следует из смысла умножения: оно сокращённо записывает повторение одного и того же слагаемого. Поэтому произведение помогает быстрее посчитать одинаковые группы, чем перечислять их по одной.

Значения произведений удобно находить по порядку, каждый раз прибавляя 3. Сначала 3 · 1 = 3, а 3 · 2 означает, что к одной тройке добавили ещё одну, поэтому получается 6. Каждый следующий множитель на 1 больше предыдущего, то есть добавляется ещё одна тройка и произведение увеличивается ровно на 3.

Деление связано с умножением, потому что эти действия помогают находить неизвестный множитель. В примере 21 : 3 нужно узнать, какое число при умножении на 3 даёт 21; таблица показывает, что это 7. Проверка 3 · 7 = 21 подтверждает найденный ответ, поэтому для деления на 3 полезно знать соответствующие произведения.

Один и тот же пример на деление может описывать разные ситуации. При делении на три равные части 24 предметов число 3 обозначает количество частей, а результат показывает, сколько предметов в каждой части. При составлении групп по 3 делитель задаёт размер группы, а частное показывает, сколько таких групп получится.

Таблица умножения на 3 позволяет быстро найти частное, если делимое есть в таблице. Например, в строке 3 · 8 = 24 видно, что 24 : 3 = 8. Затем можно проверить вычисление обратным действием: умножить ответ на делитель и убедиться, что получилось исходное число.

Умножение и деление с числом 3

Чтобы найти произведение, выбери строку с нужным множителем и прочитай равенство в среднем столбце. Для деления найди делимое в таблице, а затем посмотри соответствующий обратный пример. Если нужное равенство пока не запомнилось, двигайся по строкам, каждый раз прибавляя 3.

Разбор задач

Найти значение выражения 3 · 6

Нужно вычислить произведение, то есть взять число 6 три раза. Если таблица уже выучена, можно сразу найти строку с множителем 6. Если пример пока не вспоминается, используем сложение одинаковых слагаемых и последовательно считаем сумму.

1. Записываем умножение как сложение трёх шестёрок: 3 · 6 = 6 + 6 + 6. Так мы опираемся на смысл умножения на 3.
2. Складываем первые два числа: 6 + 6 = 12. Затем прибавляем последнюю шестёрку: 12 + 6 = 18.
3. Сверяем результат с таблицей: 3 · 6 = 18. Если знаем таблицу наизусть, это равенство позволяет получить ответ сразу.

Ответ: 18.

В 24 конфетах составили наборы по 3 конфеты. Сколько получилось наборов?

Здесь конфеты не распределяют между тремя получателями. Нужно выяснить, сколько групп размером по 3 можно составить из 24 конфет, поэтому выбираем деление 24 : 3. Представим конфеты как 24 предмета и будем мысленно отделять от них наборы по три.

1. Записываем действие: 24 : 3. Число 24 — общее количество конфет, а 3 — количество конфет в каждом наборе.
2. Находим в таблице пример с произведением 24: 3 · 8 = 24. Значит, в 24 конфетах помещается восемь троек.
3. Проверяем рассуждение: если взять 8 наборов по 3 конфеты, получится 3 · 8 = 24 конфеты. Это совпадает с условием, значит, число наборов найдено верно.

Ответ: 8 наборов.

Три одинаковые коробки содержат 27 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

В этой задаче известны общее количество карандашей и число одинаковых коробок. Требуется узнать, сколько приходится на одну коробку, поэтому 27 карандашей нужно разделить на три равные части. Это не подсчёт коробок по три карандаша: три здесь означает количество частей, а не размер каждой части.

1. Записываем деление: 27 : 3. Всего карандашей 27, а равных частей, то есть коробок, три.
2. В таблице находим 3 · 9 = 27. Если три коробки содержат по 9 карандашей, вместе в них будет 27 карандашей.
3. Проверяем результат умножением: 9 · 3 = 27. Проверка показывает, что три равные части действительно составляют исходное количество.

Ответ: 9 карандашей в каждой коробке.

Типичные ошибки

При восстановлении таблицы некоторые прибавляют к предыдущему произведению не 3, а число предыдущего множителя. Например, после 3 · 4 = 12 могут прибавить 4 вместо 3. Так происходит, если забыть, что меняется количество троек, а не размер прибавляемого шага; проверь себя, вычитая соседние произведения: разность должна быть равна 3.

Иногда умножение на 3 заменяют прибавлением 3 один раз: вместо 3 · 5 получают 5 + 3 = 8. Ошибка возникает, когда знак умножения читают как просьбу просто добавить тройку. Напомни себе смысл записи: нужно взять число 5 три раза, то есть 5 + 5 + 5 = 15.

При делении путают число групп и размер одной группы. Например, задача про три одинаковые коробки спрашивает количество предметов в каждой коробке, а не число коробок по три предмета. Чтобы избежать путаницы, сначала определи, что именно неизвестно в условии, и только потом формулируй ответ с единицами измерения.

Ещё одна ошибка — оставить найденное частное без проверки. Из-за неверно вспомненного табличного случая ответ может казаться правдоподобным. Умножь частное на 3: если для деления 24 : 3 получено 8, проверка 8 · 3 должна дать 24; иначе вычисление нужно исправить.

Связь с другими темами

Для умножения на 3 нужно уметь складывать одинаковые слагаемые и понимать, что умножение — короткая запись такой суммы. Деление на 3 опирается на представление о равных частях и о группах одинакового размера. Связь обратных действий позволяет переходить от таблицы умножения к таблице деления и проверять вычисления.

Табличные случаи пригодятся при решении задач и вычислении выражений. Позже они помогут быстрее выполнять умножение многозначных чисел: знакомое умножение на 3 станет частью более длинного вычисления. Поэтому полезно не только запомнить ответы, но и понимать, как они получаются.

Что запомнить

• Умножить число на 3 — значит взять его три раза.
• Произведения при увеличении множителя на 1 возрастают на 3.
• Деление на 3 связано с умножением на 3.
• Если 3 · a = b, то b : 3 = a.
• Деление можно проверить умножением.
• В задаче нужно определить, что означает частное: размер части или число групп.