"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Занимательные математические задачи учат замечать правила, рассуждать по шагам и проверять догадки. В них могут встретиться ряды чисел, ребусы, магические квадраты и преобразования, которые меняют число или фигуру. Для решения сначала точно выясняют, что дано и какие действия разрешены, затем выбирают подходящий приём: сравнивают разности, разбирают разряды, составляют уравнения или ищут неизменное свойство. Ответ обязательно проверяют по условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая закономерность — правило, по которому построен ряд чисел или фигур. Например, в ряду 2, 5, 8 каждый следующий член на 3 больше предыдущего. Закономерность помогает понять, как получить следующие элементы, но её нужно проверить на нескольких членах, а не угадывать по началу.
Числовой ребус — задача, в которой цифры числа или действия заменены буквами либо знаками. Одна и та же буква везде означает одну и ту же цифру; разные буквы должны обозначать разные цифры только тогда, когда это сказано в условии. Такое обозначение помогает скрыть цифры и заставляет учитывать разряды и переносы.
Магический квадрат — квадратная таблица чисел, в которой суммы чисел каждой строки, каждого столбца и диагоналей одинаковы. Общее значение этих сумм называют магической суммой. Это условие позволяет составлять равенства и находить неизвестные числа, а после решения — проверять всю таблицу.
Инвариант — величина или свойство, которое не меняется при разрешённых действиях. Например, при некоторых преобразованиях сохраняется чётность числа или цвет клетки. Инвариант нужен, чтобы выяснить, возможно ли вообще перейти от начального состояния к требуемому, не перебирая все варианты.
Разбор любой занимательной задачи начинают с точного чтения условия. Нужно отделить известные данные от того, что требуется найти, и перечислить разрешённые действия: иначе можно незаметно использовать лишнее правило или пропустить ограничение. Полезно также записать данные коротко — например, выписать ряд или обозначить неизвестные буквы цифрами. После этого легче выбрать подходящий способ и понять, каким условием проверять результат.
В числовом ряду сначала сравнивают соседние члены, потому что простые правила часто заметны именно в переходе от одного числа к следующему. Проверяют постоянную разность, постоянное отношение, а затем чередование действий или нескольких групп чисел. Найденное правило должно подходить ко всем данным членам: совпадение только на первых двух ещё не доказывает догадку. Если несколько правил подходят, условие может не задавать единственное продолжение.
Ребус разбирают по разрядам, потому что цифра в единицах, десятках и сотнях влияет на результат по-разному. При сложении сначала рассматривают единицы: их сумма задаёт цифру единиц и, возможно, перенос в следующий разряд. Затем используют этот перенос при разборе десятков и сотен; каждое найденное ограничение отбрасывает часть вариантов. В конце цифры подставляют в исходное действие: так проверяются и вычисления, и соответствие букв условию.
В магическом квадрате используют то, что одна и та же магическая сумма получается для каждой строки, каждого столбца и диагонали. Если часть чисел известна, сумму полной строки или диагонали можно приравнять к сумме другой и составить уравнение для пропуска. Несколько таких равенств дают возможность найти неизвестные постепенно. Но одно равенство ещё не гарантирует правильность всей таблицы, поэтому после нахождения чисел сравнивают все требуемые суммы.
В задаче с последовательными преобразованиями полезно искать инвариант — свойство, которое сохраняется после каждого разрешённого шага. Причина в том, что любое состояние, до которого можно добраться, обязано иметь то же сохраняющееся свойство, что и начальное. Если целевое состояние ему не соответствует, дальнейший поиск не нужен: цель недостижима. Если инвариант цели не запрещает, это ещё не доказывает достижимость — тогда можно продолжить поиск или построить цепочку действий.
В таблице для каждого вида задачи указаны то, что нужно исследовать, основной приём и способ проверки. Сначала определи, к какому виду относится задача, а затем используй соответствующую строку. Проверка — обязательная часть решения: она показывает, выполнены ли все условия, а не только найдено ли подходящее число.
| Вид задачи | Что исследовать | Основной приём | Как проверить ответ |
|---|---|---|---|
| Числовой ряд | Правило перехода от одного элемента к следующему | Проверить разности, отношения и чередование | Убедиться, что правило подходит ко всем данным членам |
| Числовой ребус | Разряды чисел и возможные цифры | Учитывать переносы и исключать невозможные варианты | Подставить цифры в исходное действие |
| Магический квадрат | Суммы строк, столбцов и диагоналей | Составить уравнения для неизвестных чисел | Сравнить все требуемые суммы |
| Задача на преобразования | Свойство, сохраняющееся после каждого шага | Найти инвариант и проследить его изменение | Проверить, совместимо ли конечное состояние с инвариантом |
Задача. Продолжить ряд 2, 5, 8, 11, … и объяснить правило. Нужно не просто назвать следующий член, а проверить, действительно ли один и тот же переход повторяется во всём ряду.
Вычислим разности соседних членов: 5 − 2 = 3, 8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3. Значит, на каждом из проверенных шагов прибавляли 3.
Продолжим тот же переход: 11 + 3 = 14. Для следующего члена ещё раз прибавим 3: 14 + 3 = 17.
Ответ: правило — прибавлять 3; следующие члены — 14 и 17. Проверка разностей показывает, что это правило подходит ко всем числам, которые были даны.
Задача. В ребусе АБ + АБ = ВГГ найти цифры, если А, Б, В и Г — цифры. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры; условие не требует, чтобы разные буквы непременно были разными цифрами. Запишем сложение столбиком и будем учитывать переносы.
Сумма двух двузначных чисел не больше 198, поэтому сотни результата могут появиться только из переноса при сложении десятков. Значит, В = 1.
В разряде единиц складываются Б + Б. Полученная цифра единиц — Г, а перенос в десятки может быть 0 или 1. Поскольку сумма десятков должна дать сотни, перенос из десятков равен 1.
Десятки результата обозначены той же буквой Г, что и единицы. Проверяем подходящие цифры: при Б = 1 получаем 1 + 1 = 2, значит, Г = 2 и переноса из единиц нет. Тогда для десятков нужно 2А = 12, откуда А = 6.
Подставим цифры: 61 + 61 = 122. Здесь А = 6, Б = 1, В = 1, Г = 2, и запись полностью совпадает с ребусом.
Ответ: А = 6, Б = 1, В = 1, Г = 2. Совпадение В и Б допустимо: условие не запрещало разным буквам обозначать одинаковые цифры.
Задача. Можно ли, начиная с числа 1, получить число 10, если за один ход разрешено прибавить 3 или умножить число на 2? Здесь нужно выяснить, существует ли цепочка разрешённых действий, а не просто проверить одно преобразование.
От числа 1 прибавим 3 и получим 4. Это разрешённый ход, поэтому полученное число можно использовать дальше.
К 4 прибавим 3 и получим 7, затем снова прибавим 3: 7 + 3 = 10. Каждый переход соответствует одному из разрешённых действий.
Проверим всю цепочку: 1 → 4 → 7 → 10. Она начинается с заданного числа и заканчивается целью, значит, требуемое состояние достижимо.
Ответ: да, можно: достаточно трижды прибавить 3. В этой задаче не требуется запрещать цель с помощью инварианта — найденная цепочка прямо доказывает, что она достижима.
При продолжении ряда иногда угадывают правило по двум первым членам. Это соблазнительно, потому что для короткого фрагмента часто можно придумать несколько объяснений, но они разойдутся на следующих шагах. Проверь выбранное правило по всем данным членам и сравни переходы между каждой парой соседей. Если проверка не проходит, гипотезу нужно изменить.
В ребусе могут решить, что разным буквам обязательно соответствуют разные цифры. Так поступают, перенося правило из другой задачи, где различие было специально оговорено, но здесь это может отбросить верное решение. Сверься с точной формулировкой и проверь подстановкой, выполняется ли действие. Равными должны быть цифры у одинаковых букв, а ограничение для разных букв добавляют лишь при прямом указании.
В магическом квадрате нередко сравнивают только суммы строк. Причина — строки проще читать, чем диагонали, однако определение требует равенства сумм также в столбцах и диагоналях. После нахождения чисел выпиши сумму каждой строки, каждого столбца и обеих диагоналей. Если хотя бы одна отличается, квадрат не удовлетворяет условию.
В задачах на преобразования можно следить только за получающимися числами и пробовать новые ходы без проверки сохраняющегося свойства. Из-за этого поиск продолжают даже тогда, когда цель уже исключена инвариантом. Найди свойство, неизменное при каждом разрешённом действии, и сравни его у начала и цели. Несовпадение доказывает недостижимость, а совпадение само по себе ещё не гарантирует, что путь существует.
Для ребусов нужны уверенные действия с натуральными числами: особенно важно понимать разряды при сложении и умножении и правильно учитывать перенос. Поиск закономерностей продолжает знакомство с числовыми последовательностями, а правило ряда можно описывать с помощью алгебраических выражений. Инварианты связаны с делимостью и чётностью; вместе с перебором они помогают решать задачи комбинаторики и логические игры. Эти приёмы полезны и за пределами отдельных типов задач: они учат доказывать, почему ответ подходит или почему цель недостижима.
Как понять, по какому правилу построен числовой ряд?
Сравни соседние члены: найди разности, проверь отношения и посмотри, не чередуются ли несколько действий. Затем проверь гипотезу на каждом данном члене и продолжи ряд по найденному правилу.
Могут ли у одного ряда быть разные продолжения?
Да. Несколько правил могут совпадать на коротком начальном фрагменте, но давать разные следующие числа. Поэтому учитывай все условия задачи: без дополнительных ограничений продолжение иногда нельзя определить однозначно.
Обязательно ли разные буквы в ребусе обозначают разные цифры?
Нет, это зависит от условия. Одинаковые буквы всегда обозначают одинаковые цифры, а разные буквы должны означать разные цифры только тогда, когда это отдельно сказано.
Почему в магическом квадрате проверяют диагонали?
Равенство сумм диагоналей входит в определение магического квадрата наряду с равенством сумм строк и столбцов. Если диагональ не проверена, нельзя утверждать, что квадрат удовлетворяет всем условиям.
Как инвариант помогает доказать, что цель недостижима?
Инвариант сохраняется при каждом разрешённом действии, поэтому он должен быть одинаковым у начального и конечного состояний. Если у цели это свойство другое, получить её невозможно.
Познавательно и занимательно
