47. Во сколько раз больше или меньше?

Определения и обозначения

Кратное сравнение — это сравнение двух величин с помощью деления. Оно показывает, во сколько раз одна величина больше или меньше другой. В отличие от сравнения на несколько единиц, где находят разность, здесь находят частное.

Отношение чисел — результат деления одного числа на другое. Например, отношение 18 к 6 равно 18 : 6 = 3. Это число показывает, во сколько раз 18 больше 6, поэтому отношение помогает записывать результат кратного сравнения.

Во сколько раз больше — значит узнать, сколько раз меньшая величина содержится в большей. Для этого большую величину делят на меньшую. Если в коробке 18 карандашей, а в другой 6, то 18 : 6 = 3: в первой коробке карандашей в 3 раза больше.

Во сколько раз меньше — значит выяснить, сколько раз меньшая величина содержится в большей. Деление остаётся тем же: большую величину делят на меньшую, но ответ формулируют иначе. При числах 18 и 6 говорят, что 6 в 3 раза меньше 18.

Как это устроено

Чтобы узнать, во сколько раз одна величина больше другой, нужно выяснить, сколько одинаковых частей меньшей величины помещается в большей. Деление как раз показывает число таких частей. Поэтому большую величину делят на меньшую, например 20 : 5 = 4.

При сравнении на сколько-то единиц ищут, сколько единиц составляет разница между величинами, и используют вычитание. При сравнении во сколько раз выясняют, сколько раз одна величина укладывается в другой, и используют деление. Поэтому ответы «на 15» и «в 4 раза» не заменяют друг друга: они отвечают на разные вопросы.

Если известны меньшая величина и число раз, на которое большая величина больше, большую находят умножением. В большей величине содержится несколько одинаковых частей, каждая из которых равна меньшей. Например, если одна часть равна 7, а таких частей 3, то большая величина равна 7 · 3 = 21.

Если известны большая величина и число раз, на которое она больше меньшей, большую нужно разделить на это число. Деление разбивает большую величину на равные части и показывает размер одной части. Например, 24 : 4 = 6, значит меньшая величина равна 6.

Сравнивать делением можно только величины, выраженные в одинаковых единицах. Если одна длина дана в метрах, а другая в сантиметрах, сначала нужно выполнить перевод, иначе частное не будет показывать правильное отношение. Делить на ноль нельзя, поэтому величина, на которую делят, должна быть ненулевой.

Сравнение величин: на сколько и во сколько раз

В таблице показан способ сравнения на несколько единиц: для чисел 12 и 4 нужно выполнить 12 − 4. Если бы спрашивали, во сколько раз 12 больше 4, понадобилось бы деление 12 : 4. Поэтому перед вычислением определите, какой именно вопрос задан.

Разбор задач

Задача 1

В одной коробке 18 карандашей, в другой — 6. Нужно узнать, во сколько раз больше карандашей в первой коробке. Здесь сравниваются количества делением, потому что спрашивается «во сколько раз».

1. Определяем большую величину: 18 карандашей находятся в первой коробке.
2. Делим большее количество на меньшее: 18 : 6 = 3.
3. Формулируем ответ с указанием коробки, о которой спрашивается.

Ответ: в первой коробке карандашей в 3 раза больше.

Задача 2

Длина одной ленты 35 см, другой — 5 см. Нужно узнать и кратное сравнение, и разность длин, поэтому выполняются два разных действия. Деление даст ответ на вопрос «во сколько раз», а вычитание — на вопрос «на сколько сантиметров».

1. Находим, во сколько раз первая лента длиннее: 35 : 5 = 7.
2. Находим, на сколько сантиметров она длиннее: 35 − 5 = 30 см.
3. Записываем оба результата, не смешивая их значения.

Ответ: первая лента длиннее второй в 7 раз и на 30 см.

Задача 3

В большой ёмкости 48 л воды, это в 6 раз больше, чем в маленькой. Известна большая величина и число равных частей, поэтому требуется найти размер одной, меньшей части. Для этого используют деление.

1. Большое количество воды равно 48 л.
2. Делим его на число раз: 48 : 6 = 8 л.
3. Проверяем результат умножением: 8 · 6 = 48, значит вычисление выполнено верно.

Ответ: в маленькой ёмкости 8 л воды.

Типичные ошибки

Вычитание вместо деления. Ошибку допускают, когда не различают вопросы «на сколько» и «во сколько раз». Если требуется кратное сравнение, нужно найти частное и проверить, что ответ выражен числом раз.

Деление меньшего числа на большее. Так поступают, если ориентируются на порядок чисел, а не на смысл задачи. При вопросе, во сколько раз большая величина больше меньшей, записывают большую величину первой; затем проверяют, что частное не меньше единицы.

Умножение большой величины для нахождения меньшей. Ошибка возникает из-за механического использования действия «в несколько раз». Если известна большая величина, её делят на число раз, а проверку выполняют обратным умножением.

Сравнение разных единиц. Например, нельзя сразу делить метры на сантиметры как одинаково записанные величины. Сначала переводят всё в метры или всё в сантиметры, после чего выполняют нужное действие.

Связь с другими темами

Для кратного сравнения нужно уметь делить натуральные числа и выполнять действия с величинами. Единицы измерения перед вычислением должны быть одинаковыми, иначе результат нельзя правильно истолковать.

Кратное сравнение связано с отношением чисел: частное двух чисел показывает их отношение. Эти знания станут основой для изучения дробей, пропорций и задач, где величины изменяются в несколько раз.

Деление и умножение при кратном сравнении встречаются в задачах на скорость, цену, масштаб и производительность. Умение понять, какая величина больше и сколько раз она содержит меньшую, помогает выбрать действие.

Что запомнить

• «Во сколько раз» — это вопрос о частном.
• Чтобы узнать, во сколько раз большая величина больше меньшей, большую делят на меньшую.
• Чтобы узнать, во сколько раз меньшая величина меньше большей, большую делят на меньшую.
• Сравнение «на сколько» выполняют вычитанием.
• Если большая величина в несколько раз больше меньшей, меньшую находят делением.
• Перед делением величины нужно привести к одинаковым единицам.