Во сколько раз больше или меньше?

Определения и обозначения

Узнать, во сколько раз одно число больше другого, — значит найти, сколько раз меньшее число содержится в большем. Для этого находят частное большего числа и меньшего. Такое сравнение помогает описать не разницу между числами, а их взаимное отношение.

Узнать, во сколько раз одно число меньше другого, — значит выяснить, сколько раз большее число содержит меньшее. Деление здесь тоже показывает число таких повторений: меньшую величину мысленно укладывают в большую. Поэтому результат относится к сравнению обеих величин, хотя вопрос задан о меньшей.

Отношение чисел при кратном сравнении — это результат деления одного числа на другое. Например, отношение 18 к 6 равно 18 : 6 = 3, потому что число 6 трижды содержится в 18. В этом действии делитель не может быть равен нулю.

Сравнивая величины, делят только величины одной и той же природы: например, длину на длину или массу на массу. Кроме того, значения должны быть выражены в одинаковых единицах. Это нужно, чтобы частное показывало именно число раз, а не зависело от того, какими единицами записаны величины.

Как это устроено

Представь, что в одной коробке 6 карандашей, а в другой — 18. Если разложить карандаши из второй коробки на группы по 6, получится 3 равные группы. Значит, вопрос «во сколько раз больше?» спрашивает число таких групп, а не лишнее количество карандашей. Для ответа о лишних карандашах понадобилось бы вычитание.

Чтобы найти число групп, количество предметов во всех группах делят на количество предметов в одной группе. В примере это 18 : 6 = 3: каждая группа содержит 6 карандашей, а вместе групп — три. Именно поэтому при сравнении большего числа с меньшим большее делят на меньшее. Деление отвечает на вопрос, сколько раз меньшая часть помещается в целом.

Фраза «во сколько раз меньше?» может сбить с толку, но она тоже спрашивает о числе повторений. Если меньшая величина содержится в большей несколько раз, то большая во столько же раз больше меньшей. Поэтому вычисляют частное большего значения на меньшее, а полученный результат формулируют в соответствии с вопросом о меньшей величине.

Частное, например 4, само по себе — просто число. В задаче оно означает, что одна величина содержится в другой четыре раза, поэтому ответ записывают «в 4 раза». Слово «раза» помогает отличить кратное сравнение от количества предметов: нельзя ответить просто «4 карандаша», если найдено отношение двух количеств.

У величин могут быть разные единицы записи, хотя они описывают одно и то же свойство. Например, прежде чем сравнивать килограммы и граммы, нужно перевести их в одну единицу: 2 кг — это 2000 г. После перевода деление сопоставляет два числа, относящиеся к одинаковым единицам, и его результат можно верно истолковать как число раз.

Кратное сравнение чисел и величин

Сначала определи, какие значения сравниваются и какое из них больше; если это величины, проверь единицы измерения. Затем выполни деление большего на меньшее и прочитай результат именно как число раз. Формулировку ответа подстрой под вопрос: больше ли первая величина или меньше.

Разбор задач

Задача 1. В одной коробке 6 карандашей, а в другой 18. Во сколько раз больше карандашей во второй коробке? Сравниваются два количества одинаковых предметов, поэтому единицы уже совпадают. Нужно выяснить, сколько групп по 6 карандашей составляют 18 карандашей.

1. Находим большее количество: во второй коробке 18 карандашей.
2. Делим большее количество на меньшее: 18 : 6 = 3.
3. Записываем результат с единицей кратного сравнения: в 3 раза.

Проверка: три группы по 6 карандашей дают 18 карандашей. Ответ: во второй коробке в 3 раза больше карандашей.

Задача 2. Длина ленты 84 см, длина отрезанной части 12 см. Во сколько раз отрезанная часть короче всей ленты? Обе длины измерены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется. Вопрос задан о меньшей части, но частное покажет, сколько таких частей укладывается в длине всей ленты.

1. Определяем большее значение: вся лента имеет длину 84 см.
2. Делим длину всей ленты на длину отрезанной части: 84 : 12 = 7.
3. Соотносим результат с вопросом: отрезанная часть меньше всей ленты в 7 раз.

Здесь не нужно находить, сколько сантиметров осталось бы при вычитании: спрашивают именно о числе раз. Ответ: отрезанная часть в 7 раз короче всей ленты.

Задача 3. Масса одного груза 2 кг, другого — 750 г. Во сколько раз первый груз тяжелее второго? Сравнивать числа 2 и 750 напрямую нельзя: они выражают массу в разных единицах. Переведём килограммы в граммы, а затем разделим большую массу на меньшую.

1. Переводим массу первого груза: 2 кг = 2000 г.
2. Сравниваем значения в одинаковых единицах: 2000 г больше 750 г.
3. Выполняем деление: 2000 : 750 = 2⅔.
4. Формулируем результат: первый груз тяжелее второго в 2⅔ раза.

Проверка единиц показывает, что обе массы записаны в граммах; при делении единицы сокращаются. Ответ: первый груз тяжелее второго в 2⅔ раза.

Типичные ошибки

Вместо деления иногда вычитают числа: например, из 18 вычитают 6 и получают 12. Так узнают, на сколько предметов одно количество больше другого, а не во сколько раз. Проверь себя вопросом: требуется число лишних предметов или число равных групп? Для групп нужно деление.

Можно по ошибке разделить меньшее число на большее, например 6 : 18, хотя спрашивают, во сколько раз большее значение больше меньшего. Тогда получится число меньше 1, которое не отвечает на вопрос о числе групп меньшего в большем. Сначала отметь, какое значение больше, и раздели именно его на меньшее.

Если в ответе оставить только частное, например написать «3», смысл ответа будет неясен. Число может восприниматься как количество предметов, хотя оно обозначает отношение. Проверь формулировку: после вычисления должен получиться ответ «в 3 раза», а не просто «3».

Деление значений в разных единицах — например, 2 кг на 750 г — не даёт правильного результата, если записывать числа как 2 и 750. Причина в том, что эти числа выражают разные по масштабу единицы. Перед вычислением переведи килограммы в граммы или граммы в килограммы, а затем проверь, что единицы совпадают.

Связь с другими темами

Для кратного сравнения нужно уметь делить натуральные числа и понимать деление как способ узнать число равных групп. Если деление пока вызывает затруднение, можно представить предметы разложенными на одинаковые группы и пересчитать группы. Так смысл действия становится наглядным.

Сравнение именованных величин опирается на знания об единицах измерения и их переводе. Эти умения понадобятся, когда длины, массы или другие величины записаны по-разному. Сначала приводят записи к одной единице, затем сравнивают.

Кратное сравнение встречается в задачах на скорость, цену, масштаб и пропорциональные зависимости. В них отношение помогает сопоставлять, например, скорости движения или стоимость одинаковых товаров. Умение понять, что именно сравнивают, позволяет выбрать подходящее деление.

Что запомнить

• Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, большее делят на меньшее.
• Вопрос «во сколько раз меньше?» решается делением большего значения на меньшее.
• Кратное сравнение не следует путать с разностным: разность находят вычитанием.
• В ответе указывают, во сколько раз различаются величины.
• Перед сравнением величин их нужно выразить в одинаковых единицах.