59. Деление двузначного числа на двузначное

Определения и обозначения

Делимое — число, которое делят; в этой теме оно двузначное. Например, в записи 84 : 12 число 84 — делимое. По нему определяют, сколько целых групп можно составить.

Делитель — число, на которое делят; здесь он тоже двузначный. В записи 84 : 12 это число 12. Делитель показывает размер одной группы или число, которое повторно вычитают из делимого.

Частное — результат деления, то есть число, показывающее, сколько раз делитель содержится в делимом. В примере 84 : 12 = 7 частное равно 7. Его подбирают среди однозначных чисел, потому что двузначный делитель два раза уже даёт трёхзначное произведение.

Остаток — часть делимого, которая остаётся после выделения целого числа делителей. Например, при делении 97 на 23 после четырёх полных групп остаётся 5. Остаток нужен, чтобы описать весь результат, и он всегда меньше делителя.

Как это устроено

Деление двузначного числа на двузначное сводится к подбору однозначного частного. Нужно найти такую цифру, чтобы при умножении на делитель получилось число, не превосходящее делимое. Если выбрать слишком большую цифру, произведение окажется больше делимого, а это невозможно: нельзя выделить больше полных групп, чем есть всего.

Количество цифр частного находят сравнением делимого и делителя. Если делимое меньше делителя, целый делитель не помещается даже один раз, поэтому частное равно нулю. Если делимое не меньше делителя, частное будет однозначным: двузначный делитель при умножении на 10 уже даёт число не меньше 100, а делимое остаётся двузначным.

Цифру частного удобно сначала оценить прикидкой. Для этого можно округлить числа, например заменить 97 на 100, а 23 — примерно на 25, или сравнить первые цифры. Такая оценка не является окончательным ответом, потому что округление меняет числа; она только подсказывает, какую цифру проверить первой.

Подобранную цифру проверяют умножением делителя. Произведение должно быть меньше либо равно делимому, а при увеличении частного на единицу произведение уже должно превысить делимое. Тогда выбранная цифра является наибольшим возможным целым частным: следующая группа в делимом уже не помещается.

При делении с остатком сначала находят произведение делителя и частного, затем вычитают его из делимого. Разность и есть остаток, потому что из общего количества убрали все полные группы. Проверка выполняется равенством: делимое = делитель · частное + остаток, причём остаток меньше делителя.

Случаи деления двузначного числа на двузначное

Таблица помогает выбрать способ действия в зависимости от результата сравнения и проверки. Сначала определите, помещается ли делитель в делимом, затем подберите частное и найдите остаток.

Разбор задач

Деление нацело

Вычислим 84 : 12. Делимое 84 больше делителя 12, значит, частное не будет нулём и его можно подобрать по таблице умножения. Ищем число, при умножении на 12 которого получается 84.

1. Проверим цифру 7: 12 · 7 = 84.
2. Произведение равно делимому, поэтому остатка нет.
3. Запишем результат и проверим его обратным действием.

Ответ: 84 : 12 = 7. Проверка: 12 · 7 = 84.

Деление с остатком

Вычислим 97 : 23 с остатком. Прикидка подсказывает частное 4, потому что 23 примерно равно 25, а 100 : 25 = 4. Теперь нужно проверить выбранную цифру и убедиться, что следующая уже не подходит.

1. Вычислим произведение: 23 · 4 = 92.
2. Произведение 92 меньше 97, поэтому 4 — подходящее частное.
3. Проверим следующую цифру: 23 · 5 = 115, а это больше 97.
4. Найдём остаток: 97 − 92 = 5.

Ответ: 97 : 23 = 4 (ост. 5). Проверка: 23 · 4 + 5 = 97, остаток 5 меньше 23.

Задача с предметами

73 карандаша разложили поровну в коробки по 18 карандашей. Нужно узнать число полных коробок и количество оставшихся карандашей. Это задача на деление с остатком: 73 — общее число карандашей, а 18 — вместимость одной коробки.

1. Выполним деление 73 : 18. Прикидка даёт частное 4, так как 18 · 4 = 72.
2. Проверим следующую коробку: 18 · 5 = 90, это больше 73, значит, пятую полную коробку составить нельзя.
3. Найдём остаток: 73 − 72 = 1.
4. Истолкуем числа: 4 — число полных коробок, 1 — оставшийся карандаш.

Ответ: получится 4 полные коробки, 1 карандаш останется. Проверка: 18 · 4 + 1 = 73.

Типичные ошибки

Иногда цифру частного выбирают только по первым цифрам делимого и делителя. Такой способ даёт лишь приблизительную оценку, поэтому произведение обязательно нужно проверить. Если выбранная цифра слишком велика, произведение будет больше делимого; уменьшите частное и умножьте снова.

Другая ошибка — оставить слишком большую цифру частного после получения недопустимого произведения. Сравните произведение с делимым: оно должно быть меньше либо равно ему. Если остаток получился равным делителю или больше него, частное также подобрано неверно: добавьте ещё один делитель к частному.

При проверке иногда используют равенство делимое = делитель · частное и забывают остаток. Это верно только при делении нацело. При наличии остатка нужно прибавить его к произведению и убедиться, что итог совпал с делимым.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны таблица умножения, связь умножения и деления, а также умение выполнять деление с остатком. Пригодятся округление и прикидка: они помогают быстро выбрать цифру для проверки, но не заменяют точное умножение.

Деление двузначных чисел используется в текстовых задачах на равные группы, упаковку и распределение. Эти приёмы станут основой для вычислений с дробями и для дальнейшего деления многозначных чисел.

Что запомнить

• Частное при делении двузначного числа на двузначное является однозначным числом или равно нулю.
• Цифру частного подбирают по произведению делителя на эту цифру.
• Произведение делителя и частного не должно превышать делимое.
• Если деление не выполняется нацело, находят остаток вычитанием.
• Остаток всегда меньше делителя.
• Проверка: делимое = делитель · частное + остаток.