1.25. Деление двузначного числа на двузначное

Определения и обозначения

Деление двузначного числа на двузначное — действие, при котором по делимому и делителю находят частное. Обычно результат такого деления — однозначное число, хотя иногда деление выполняют с остатком. Например, нужно выяснить, сколько раз двенадцать содержится в восьмидесяти четырёх. Это действие помогает распределять предметы поровну и решать задачи, в которых требуется найти число одинаковых групп.

Проба частного — проверка выбранного значения частного умножением делителя на это значение. Например, если предполагаемое частное равно 7, умножают делитель на 7 и сравнивают результат с делимым. Так становится понятно, верно ли подобрано частное: произведение должно совпасть с делимым при делении без остатка или не превышать его при делении с остатком.

Деление с остатком — деление, при котором делимое представляют как произведение делителя и частного плюс остаток, меньший делителя. Остаток показывает, сколько единиц осталось после того, как из делимого выделили полные группы. Это определение нужно, чтобы отличать верный ответ от случая, когда в остатке ещё помещается одна или несколько полных групп.

Подбор частного — последовательный выбор числа, которое станет частным, с проверкой произведения делителя на это число. Сначала оценивают возможное значение, затем пробуют умножение и при необходимости берут число меньше или больше. Такой способ нужен, когда ответ нельзя сразу увидеть по таблице умножения, и помогает не полагаться на случайную догадку.

Как это устроено

Частное двузначного числа на двузначное обычно ищут среди однозначных чисел, потому что делитель уже не меньше 10. Если частное равно 10 или больше, произведение делителя и частного будет не меньше 10 × 10 = 100. Но двузначное делимое меньше 100, поэтому такое произведение не может подойти. Значит, достаточно проверять числа от 1 до 9, а при делении с остатком — выбирать среди них подходящее частное.

Чтобы оценить возможное частное, сравнивают делимое с произведениями делителя на небольшие однозначные числа. Например, если делимое больше 3 делителей, но меньше 4 делителей, частное при делении с остатком будет равно 3. Такое сравнение сразу задаёт промежуток и сокращает число проб. Если границы не очевидны, можно начать с малого числа и проверять произведения по порядку.

Цифру частного подбирают, сравнивая несколько произведений делителя с делимым. Подходящим будет наибольшее произведение, которое не превышает делимое: меньшее оставит возможность выделить ещё одну полную группу, а большее окажется невозможным. Поэтому при пробе удобно умножать делитель на предполагаемые числа и каждый раз сравнивать результат с делимым. Если произведение слишком велико, выбирают меньшее частное.

Чтобы получить остаток, из делимого вычитают найденное произведение делителя и частного. Вычитать нужно именно произведение из делимого, потому что оно показывает уже использованную часть исходного числа. Остаток не может быть отрицательным: выбранное произведение не должно превышать делимое. Он также должен быть меньше делителя, иначе из оставшегося количества можно выделить ещё одну полную группу и увеличить частное.

Ответ проверяют с помощью связи между умножением и делением. При делении без остатка достаточно умножить делитель на частное и убедиться, что получилось делимое. При делении с остатком к произведению делителя и частного прибавляют остаток: сумма должна равняться делимому. Отдельно проверяют, что остаток меньше делителя, иначе запись не показывает окончательное деление на полные группы.

Порядок деления двузначного числа на двузначное

Используй таблицу как порядок действий: сначала оцени частное, затем проверь умножением выбранное значение. Если остаток не меньше делителя, вернись к подбору и увеличь частное. В конце проверь равенство с делимым.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 84 : 12. Здесь нужно найти число, на которое следует умножить 12, чтобы получить 84. Начинаем с подходящих однозначных чисел, поскольку делитель двузначный. Если произведение совпадёт с делимым, деление будет выполнено без остатка.

1. Сравним делимое с произведениями делителя: 12 × 5 = 60, а 12 × 10 = 120. Частное находится между 5 и 10, значит, стоит проверить числа от 6 до 9.
2. Проверим произведения: 12 × 7 = 84. Это в точности делимое, поэтому дальше подбирать число не нужно.
3. Запишем результат: 84 : 12 = 7. Проверка умножением подтверждает ответ, так как 12 × 7 = 84.

Ответ: 7. Совпадение произведения с делимым означает, что остатка нет. Такой способ полезен и для проверки уже выполненного деления. Если бы произведение отличалось, следовало бы проверить другое значение частного.

Задача 2. Вычислить 91 : 13. Частное оценим сравнением делимого с произведениями 13 на однозначные числа. Произведение 13 × 7 близко к 91, но его нужно обязательно проверить. При делении без остатка найденное произведение должно равняться делимому точно.

1. Сравним 13 × 5 = 65 и 13 × 10 = 130. Частное больше 5 и меньше 10, поэтому проверим несколько значений в этом промежутке.
2. Выполним пробу: 13 × 7 = 91. Произведение совпало с делимым, следовательно, частное подобрано правильно.
3. Запишем вычисление: 91 : 13 = 7. Проверка: 13 × 7 = 91.

Ответ: 7. Здесь проба сразу дала точное произведение. Если бы оно оказалось больше 91, нужно было бы выбрать меньшее число, а если меньше — проверить, не подходит ли следующее число. Так подбор помогает установить и частное, и наличие остатка.

Задача 3. Разделить 95 на 14 с остатком и проверить результат. Нужно найти наибольшее произведение 14 на однозначное число, которое не превышает 95. При этом произведение не обязано совпасть с делимым. Разность между делимым и этим произведением станет остатком.

1. Оценим частное: 14 × 6 = 84, а 14 × 7 = 98. Число 98 больше 95, поэтому 7 не подходит, а наибольшее допустимое частное — 6.
2. Найдём остаток: 95 − 84 = 11. Остаток положительный и меньше делителя 14, значит, из него нельзя выделить ещё одну полную группу.
3. Проверим равенство: 14 × 6 + 11 = 84 + 11 = 95. Равенство верно, и остаток меньше делителя.

Ответ: 95 : 14 = 6 (ост. 11). В записи 6 — число полных групп, а 11 — то, что осталось. Если бы остаток был равен 14 или больше, результат можно было бы продолжить делить на полные группы. Поэтому проверка остатка здесь обязательна.

Типичные ошибки

Частное иногда выбирают наугад и не проверяют умножением. Так можно получить произведение больше делимого, хотя такое количество полных групп в него не помещается. Ошибка возникает, когда ученик полагается на первую догадку и пропускает пробу. Умножь делитель на выбранное частное и сравни результат с делимым.

При делении с остатком иногда получают остаток, равный делителю или больший него. Это значит, что делитель ещё можно вычесть из остатка и увеличить число полных групп. Так бывает, если частное подобрали недостаточно большим или остаток не проверили. Убедись, что остаток неотрицательный и строго меньше делителя.

Ещё одна ошибка — вычесть делимое из произведения. Тогда порядок вычитания обращён, а остаток не показывает, сколько осталось от исходного числа после выделения полных групп. Обычно путают числа, если не соотносят вычитание с задачей. Сначала найди произведение делителя и частного, потом вычти его из делимого.

При проверке деления с остатком иногда умножают делитель на частное, но забывают прибавить остаток. Одного произведения достаточно только для деления без остатка, поэтому такая проверка не восстановит исходное делимое. Ошибку легко заметить по неверному равенству. Проверь запись целиком: делитель × частное + остаток = делимое, а остаток меньше делителя.

Связь с другими темами

Для подбора частного нужны таблица умножения и понимание связи умножения с делением: деление помогает узнать, какой множитель неизвестен. Также полезно знать деление с остатком, чтобы правильно записать результат, если делимое не делится на делитель нацело. Умение сравнивать произведения помогает оценивать ответ, а не угадывать его.

Подбор частного пригодится при делении многозначных чисел столбиком. Там тоже выбирают цифру частного и проверяют умножением, не превышает ли произведение делимое или его часть. Навык полезен и для проверки вычислений: умножение и сложение позволяют восстановить делимое из частного и остатка.

Что запомнить

• Частное двузначного числа на двузначное обычно ищут среди однозначных чисел.
• Подобранную цифру частного проверяют умножением.
• При делении с остатком произведение делителя и частного не превосходит делимое.
• Остаток всегда меньше делителя.
• Делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток.
• При делении без остатка остаток равен нулю.