1.26. Решение задач

Определения и обозначения

Текстовая задача — описание ситуации с числовыми данными и вопросом, для ответа на который нужно выполнить одно или несколько действий. Например, рассказ о покупке может содержать количество и цену, а вопрос — общую стоимость. Определение помогает отличить задачу от текста, в котором просто сообщаются числа.

Условие задачи — сведения, которые даны в описании и используются для решения. Это могут быть известные числа, названия величин и отношения между ними: например, что один предмет дороже другого. Выделив условие, легче не потерять нужные данные и не принять лишнюю информацию за необходимую.

Требование задачи — вопрос, на который нужно ответить; его полезно выразить через неизвестную величину. Если спрашивают, сколько предметов осталось, неизвестной будет оставшееся количество. Такое выражение требования помогает понять, к какому результату должны привести вычисления.

Решение задачи — последовательность рассуждений и действий, приводящая от условия к ответу. В неё входят выбор способа, вычисления и проверка результата, а не только запись чисел. Это понятие помогает проследить, почему получен именно такой ответ.

Как это устроено

Чтобы выделить условие и требование, найди, какие величины названы и какие значения уже известны. Затем определи, о чём спрашивают и какие слова связывают величины: например, «всего», «осталось», «в несколько раз», «на столько-то больше». Это нужно потому, что одинаковые числа в разных ситуациях могут означать разные вещи, а вопрос задаёт цель решения.

До вычислений установи связь между величинами: выясни, как изменение одной из них влияет на другую или как они сравниваются. Слова в задаче подсказывают возможный смысл, но сами по себе не выбирают действие: «больше» может описывать разность, а может — увеличение количества. Когда связь понятна, становится ясно, какое действие или соотношение выразит её правильно.

Краткая запись, схема или таблица располагает данные так, чтобы их было удобно сравнивать. Например, одинаковые строки таблицы могут показать количество предметов и их стоимость, а схема — части и целое. Такая модель уменьшает путаницу: видно, какие значения относятся друг к другу и какой величины не хватает.

Способ решения выбирают по тому, как устроена задача. Если неизвестную величину можно найти шаг за шагом, удобно выполнить действия по смыслу и пояснить каждое из них. Если несколько величин связаны равенством, неизвестное можно обозначить буквой и записать выражение или уравнение; тогда его решение покажет, какое значение удовлетворяет всем данным.

После вычислений проверь найденное значение: подставь его в условие и посмотри, выполняются ли указанные связи. Это помогает обнаружить ошибку в вычислениях или неверно выбранное действие, даже если запись выглядит аккуратно. Затем сформулируй ответ словами, чтобы было ясно, какую величину ты нашёл и соответствует ли она вопросу.

Этапы решения текстовой задачи

Используй этапы как маршрут: переходи к вычислениям только после того, как понял вопрос и связь между данными. Если на каком-то шаге возникает затруднение, вернись к тексту и уточни, что означает каждая величина. Не каждой задаче нужна отдельная схема или уравнение, но проверка и ясный ответ нужны всегда.

Разбор задач

Карандаши в коробке

В коробке было 18 карандашей. 7 карандашей взяли. Нужно узнать, сколько осталось. Количество предметов уменьшается, поэтому из первоначального количества надо вычесть взятые карандаши.

1. Определи величину, о которой спрашивают: это число оставшихся карандашей.
2. Запиши изменение количества: было 18, стало меньше на 7, значит, вычисляем 18 − 7.
3. Выполни вычитание: 18 − 7 = 11. Проверь: 11 взяли не были, а 11 + 7 = 18, как и было сначала.

Ответ: в коробке осталось 11 карандашей. Проверка подтверждает, что найденное количество вместе с взятыми карандашами даёт первоначальное число. В ответе указаны и число, и предметы, которые считали.

Стоимость тетрадей

За 3 одинаковые тетради заплатили 180 рублей. Требуется узнать стоимость 5 таких тетрадей. Сначала найдём цену одной тетради: все три стоят одинаково, поэтому общую стоимость нужно разделить на 3.

1. Найди цену одной тетради: 180 : 3 = 60 рублей.
2. Определи стоимость пяти тетрадей: если одна стоит 60 рублей, за 5 таких нужно заплатить 60 · 5.
3. Вычисли: 60 · 5 = 300 рублей. Проверь связь: 300 : 5 = 60, цена одной тетради совпадает с найденной.

Ответ: 5 тетрадей стоят 300 рублей. Здесь решение состоит из двух действий, потому что сначала нужно перейти от цены трёх тетрадей к цене одной, а затем — к цене пяти. Проверка показывает, что число 300 согласуется с одинаковой ценой каждой тетради.

Детали в двух коробках

В двух коробках 46 деталей, причём в первой на 8 больше, чем во второй. Нужно узнать количество деталей в каждой коробке. Обозначим число деталей во второй коробке буквой x; тогда в первой коробке x + 8 деталей, а вместе в них 46.

1. Составь уравнение по условию: x + (x + 8) = 46. Слева записано общее количество деталей, справа — известная сумма.
2. Упрости и реши уравнение: 2x + 8 = 46, 2x = 38, x = 19. Значит, во второй коробке 19 деталей.
3. Найди количество в первой коробке: 19 + 8 = 27. Проверь: 27 больше 19 на 8, а 27 + 19 = 46.

Ответ: в первой коробке 27 деталей, во второй — 19 деталей. Буква обозначает число деталей во второй коробке, поэтому найденное x сначала отвечает только на эту часть вопроса. Чтобы получить полное решение, нужно вычислить и второе количество.

Типичные ошибки

Начинать вычисления сразу после первого чтения — значит рисковать пропустить вопрос или не заметить связь данных. Так происходит, когда решающий цепляется за знакомые числа и спешит выбрать действие. Перед вычислениями проверь себя: можешь ли ты своими словами сказать, что известно и что нужно найти?

Выбирать действие по одному слову, например «больше», опасно: важно понять, какие именно величины сравнивают и что требуется найти. Эту ошибку допускают, потому что знакомое слово кажется готовой подсказкой к сложению или вычитанию. Проверь себя, пересказав связь между величинами или изобразив её схемой; действие должно соответствовать пересказу.

Уравнение без пояснения неизвестного легко составить неверно: буква может обозначать не ту величину, а выражение — не ту связь. Ошибка возникает, если сразу записывать символы, не разобрав условие. До составления уравнения подпиши, что означает буква, а после проверь, соответствует ли каждая часть записи тексту задачи.

Записывать только число без проверки и словесного ответа недостаточно: результат может не подходить к условию или отвечать не на тот вопрос. Так поступают, когда считают вычисления завершением задачи. Подставь значение в условия, оцени его смысл и запиши ответ с названием искомой величины и единицами, если они указаны.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны навыки чтения математического текста, выполнения арифметических действий и работы с выражениями. Они позволяют понять данные, выбрать нужную операцию и аккуратно провести вычисления. Если один из этих навыков пока даётся трудно, полезно отдельно потренироваться на простых примерах.

При составлении модели задачи используются величины и зависимости между ними, а данные удобно представлять краткой записью, схемой или таблицей. Эти способы помогают перейти от словесного описания к математической записи. Умение выражать неизвестное через букву и составлять уравнение пригодится при изучении уравнений, пропорций и задач на движение.

Что запомнить

• В задаче нужно различать данные и требование.
• Перед вычислениями установи связь между величинами.
• Краткая запись или схема помогают организовать условие.
• Неизвестное можно обозначить буквой и составить уравнение.
• Проверяй, удовлетворяет ли результат условию.
• Записывай ответ с наименованием величины.