"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Сложение, вычитание, умножение и деление помогают находить новые числа и вычислять значения выражений. У каждого действия есть свои компоненты и результат, а некоторые действия связаны как обратные: например, сложение можно проверить вычитанием. Свойства сложения и умножения позволяют переставлять и группировать числа, а распределительное свойство помогает раскрывать скобки и считать удобнее. Чтобы получить верный ответ, нужно учитывать порядок действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения. Числа, которые складывают, называются слагаемыми: в записи 7 + 5 = 12 числа 7 и 5 — слагаемые, а 12 — сумма. Знак «+» показывает, что к одному числу прибавляют другое. Такое обозначение помогает коротко записать действие и увидеть, какие числа участвуют в вычислении.
Разность — результат вычитания. В записи 12 − 5 = 7 число 12 называют уменьшаемым, потому что от него отнимают, а число 5 — вычитаемым. Знак «−» отделяет вычитаемое от уменьшаемого и задаёт направление действия. Это важно, потому что перестановка чисел в вычитании меняет результат.
Произведение — результат умножения, а числа, которые перемножают, называют множителями. Например, в записи 4 · 3 = 12 числа 4 и 3 — множители, а 12 — произведение. Знак умножения записывают точкой или крестиком; рядом с буквами точку часто опускают. Умножение удобно использовать, когда одинаковое слагаемое повторяется несколько раз.
Частное — результат деления: в записи 20 : 4 = 5 число 20 — делимое, а 4 — делитель. Знак «:» показывает, на сколько равных частей делят число или во сколько раз одно число содержится в другом. Деление связано с умножением, поэтому результат можно проверить обратным действием. На ноль делить нельзя: такое действие не определено.
Сложение и вычитание взаимно обратны, потому что одно действие позволяет отменить другое. Если известны сумма и одно слагаемое, второе находят вычитанием: из суммы вычитают известное слагаемое. Если известны разность и одно из чисел, второе восстанавливают сложением или вычитанием: уменьшаемое равно разности плюс вычитаемое, а вычитаемое равно уменьшаемому минус разность. Эта связь полезна для проверки вычислений и решения задач с неизвестным числом.
Умножение и деление тоже взаимно обратны: умножение объединяет равные группы, а деление помогает узнать размер группы или число групп. Если известно произведение и один множитель, второй находят делением произведения на известный множитель. Деление проверяют умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Такая проверка возможна, если делитель не равен нулю.
Переместительное свойство разрешает менять местами слагаемые и множители: a + b = b + a и a · b = b · a. Сочетательное свойство разрешает по-разному объединять слагаемые или множители в группы: (a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c). Эти равенства работают благодаря тому, что порядок слагаемых не меняет сумму, а порядок множителей не меняет произведение. Поэтому при вычислениях можно сначала объединить числа, с которыми считать удобнее.
Распределительное свойство показывает, как умножение связано со сложением и вычитанием: a · (b + c) = a · b + a · c, а a · (b − c) = a · b − a · c. Смысл правила в том, что каждый из b и c берётся по a раз, поэтому множитель действует на каждое число в скобках. Например, 7 · (10 + 2) можно вычислить как 7 · 10 + 7 · 2. Нельзя умножать только на первое число в скобках: иначе часть выражения останется без учёта.
Порядок действий нужен, чтобы одна и та же запись давала один определённый результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковую ступень, как и сложение с вычитанием, поэтому действия каждой ступени выполняют слева направо. Например, в записи 18 : 3 · 2 сначала делят 18 на 3, а затем результат умножают на 2.
| Действие | Компоненты | Результат | Обратное действие | Основные свойства |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | Слагаемые | Сумма | Вычитание | Переместительное, сочетательное |
| Вычитание | Уменьшаемое, вычитаемое | Разность | Сложение | Не переместительное |
| Умножение | Множители | Произведение | Деление | Переместительное, сочетательное, распределительное |
| Деление | Делимое, делитель | Частное | Умножение | Не переместительное; делитель не равен нулю |
Таблица помогает быстро вспомнить названия чисел в записи и результат каждого действия. Столбец об обратном действии подсказывает, как найти неизвестный компонент или проверить вычисление. Свойства указаны только там, где они применимы: например, переставлять местами числа при вычитании и делении нельзя.
Складывать удобно столбиком, начиная с разряда единиц. При проверке сложения нужно вычесть из найденной суммы одно из слагаемых и получить другое. Так мы используем взаимную обратность действий, а не просто повторяем то же сложение.
Ответ: 725.
Обычное умножение тоже даст ответ, но разложение множителя может упростить вычисления. Представим 36 как произведение 4 и 9, потому что 25 · 4 легко посчитать. Перестановочное и сочетательное свойства позволяют сгруппировать множители так, чтобы сначала получить круглое число.
Ответ: 900.
Сначала нужно выполнить действие в скобках: без него нельзя переходить к умножению и делению. После скобок умножение и деление выполняются слева направо, поскольку они одной ступени. Вычитание останется последним действием, так как оно выполняется после умножения и деления.
Ответ: 51.
Иногда уменьшаемое и вычитаемое меняют местами, будто вычитание можно выполнять в любом порядке. Так ошибаются, перенося на вычитание переместительное свойство сложения. Проверь на простом примере: 9 − 4 = 5, но 4 − 9 уже не равно 5. При вычитании порядок чисел нужно сохранять.
Деление иногда считают переместительным или пытаются разделить число на ноль. Перестановка чисел обычно меняет частное: 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼. Деление на ноль не определено, поэтому запись с нулём в роли делителя не имеет результата. Проверяй деление умножением и отдельно следи, чтобы делитель не был нулём.
Ещё одна ошибка — выполнять сложение раньше умножения или произвольно менять местами умножение и деление. Возможно, ученик читает выражение слева направо, не учитывая ступени действий. Сначала найди скобки, затем выполняй умножение и деление слева направо, после них — сложение и вычитание. Проверить себя можно, проставив промежуточные результаты над действиями в нужной очереди.
При раскрытии скобок иногда умножают внешний множитель только на первое слагаемое. Причина в том, что второе число в скобках легко упустить при записи. По распределительному свойству множитель относится к каждому слагаемому или вычитаемому: 3 · (4 + 5) = 3 · 4 + 3 · 5. Для проверки можно вычислить исходное выражение и преобразованное: их результаты должны совпасть.
Для уверенных вычислений нужны таблицы сложения и умножения, понимание разрядного состава натуральных чисел и умение выполнять письменные вычисления. Разрядный состав помогает правильно складывать и вычитать числа столбиком, а таблицы ускоряют умножение и деление. Если эти навыки пока вызывают затруднения, полезно повторить их перед решением сложных выражений.
Свойства арифметических действий применяются не только к числам. С их помощью преобразуют буквенные выражения, упрощают вычисления и решают уравнения, находя неизвестные компоненты действий. Умение соблюдать порядок действий нужно при вычислении значений выражений с несколькими операциями и скобками. Поэтому свойства и обратные действия становятся основой для дальнейшего изучения математики.
Почему вычитание нельзя выполнять в любом порядке?
При перестановке уменьшаемого и вычитаемого разность обычно меняется: например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5. Поэтому вычитание не обладает переместительным свойством.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Умножь частное на делитель. Если получилось делимое, деление выполнено верно: например, 24 : 6 = 4, а 4 · 6 = 24.
Можно ли делить на ноль?
Нет, деление на ноль не определено. Не существует такого числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевое делимое; и для нуля частное не получается определить однозначно.
В каком порядке выполнять умножение и деление в одном выражении?
Умножение и деление имеют одинаковую ступень, поэтому их выполняют слева направо. Например, в выражении 24 : 3 · 2 сначала считают 24 : 3, а затем умножают результат на 2.
Как распределительное свойство помогает считать быстрее?
Оно позволяет умножить число на сумму или разность по частям: a · (b + c) = a · b + a · c. Так можно выбрать удобное разложение, например 25 · 36 = 25 · 4 · 9 = 100 · 9.
1.27. Арифметические действия над числами
