"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Занимательные математические задачи учат не угадывать ответ, а рассуждать и проверять условия. В них встречаются числовые фокусы, ребусы, задачи с повторяющимися действиями и логические загадки. Чтобы решить такую задачу, нужно точно понять, что разрешено, выделить неизвестное, проследить за изменениями и проверить результат. Иногда помогает инвариант — свойство, которое сохраняется при каждом ходе и позволяет сразу исключить невозможный ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логическая задача — задача, в которой ответ находят последовательными рассуждениями и проверкой условий, а не применением готового алгоритма. Нужно выяснить, какие варианты допустимы и как они связаны между собой. Такое определение помогает не торопиться с вычислениями, пока не понятны правила задачи.
Числовой фокус — последовательность арифметических действий, результат которой заранее определён или зависит от выбранного числа предсказуемым образом. Неизвестное число обычно обозначают буквой и выполняют действия с ним по порядку. Это позволяет объяснить, почему фокус работает, а не просто запомнить его результат.
Числовой ребус — запись, в которой цифры заменены буквами или знаками, а решение восстанавливает цифры с учётом правил вычислений. Одна и та же буква в записи всегда обозначает одну цифру. Ребусы полезны тем, что учат учитывать разряды числа и ограничения обычных вычислений.
Инвариант — величина или свойство, которое не меняется при разрешённых действиях. Например, можно следить за чётностью числа или за количеством нечётных чисел в наборе. Если цель задачи требует другого значения инварианта, такой результат недостижим.
В занимательной задаче сначала выясняют, какие действия разрешены и какие условия обязательны. Одно и то же слово, например «разность», может означать результат вычитания большего числа из меньшего или разность в указанном порядке, поэтому это надо уточнить. Если ограничение упустить, можно получить вычисление, которое верно само по себе, но не отвечает условию. Запишите правила своими словами и сверяйте с ними каждый ход.
Числовой фокус удобнее разобрать, заменив задуманное число буквой x. Затем запишите действие за действием: умножение, сложение, деление или вычитание, не меняя их порядок. После упрощения станет понятно, зависит ли результат от x. Если в выражении остаётся x, результат может меняться; кроме того, нужно проверить, допустимо ли исходное число, например не приводит ли деление к нулю в знаменателе.
Ребус решают по разрядам, потому что цифры в столбце сложения связаны переносом из соседнего разряда. Сначала рассматривают единицы, определяют цифру результата и возможный перенос, а потом переходят к десяткам и сотням. Каждая буква должна получить одну цифру, разные буквы не должны совпадать, если это запрещено условием. Первая цифра многозначного числа не может быть нулём, иначе запись перестанет обозначать такое число.
В задаче с повторяющимися преобразованиями полезно спросить, что происходит с простыми свойствами чисел при каждом ходе. Это может быть чётность суммы, количество нечётных чисел или остаток при делении. Если свойство сохраняется, его называют инвариантом; оно не сообщает все промежуточные числа, зато позволяет проверить, возможна ли цель вообще. Сравните значение свойства в начале и в конце: несовпадение доказывает невозможность результата.
Найденное решение обязательно проверяют подстановкой или повторным выполнением действий. В ребусе подставьте цифры и проверьте равенство, в фокусе пройдите цепочку для выбранного числа, а в логической задаче сверьте каждый вывод с ограничениями. Такая проверка обнаруживает арифметические ошибки и недопустимые варианты. Чтобы убедиться, что решение единственное, нужно также проверить, не осталось ли других вариантов, удовлетворяющих тем же условиям.
| Тип задачи | Что выяснить | Основной приём | Как проверить |
|---|---|---|---|
| Логическая задача | Какие условия обязательны и какие варианты разрешены | Последовательно исключать неподходящие варианты и связывать факты | Сверить найденный ответ со всеми условиями |
| Числовой фокус | Какое число выбрано и допустимы ли все действия | Обозначить число буквой и упростить выражение | Подставить число или проверить общее выражение |
| Числовой ребус | Какие цифры различны, где стоят разряды и возможны ли переносы | Рассматривать вычисление по разрядам | Подставить цифры и выполнить вычисление |
| Задача на повторяющиеся действия | Что именно разрешено менять на каждом ходу | Найти сохраняющееся свойство — инвариант | Сравнить его значение в начале и в цели |
Сначала выберите в таблице тип задачи и уточните соответствующие ограничения. Затем примените основной приём, а проверку используйте как отдельный обязательный шаг. Если задача сочетает несколько типов, можно последовательно воспользоваться несколькими строками.
Задумали число, умножили его на 3, прибавили 12, результат разделили на 3 и вычли задуманное число. Чтобы не подбирать числа наугад, обозначим задуманное число буквой x. Запишем всю цепочку действий и проверим, остаётся ли результат зависимым от x.
После умножения на 3 получаем 3x, а после прибавления 12 — 3x + 12. Порядок важен: сначала выполняются действия, указанные в условии.
Делим полученное выражение на 3: (3x + 12) / 3 = x + 4. Скобки показывают, что на 3 делится вся сумма.
Вычитаем задуманное число: x + 4 − x = 4. Буквы сокращаются, значит, результат не зависит от выбранного числа.
Ответ: получится 4. Например, при x = 5 цепочка даёт 15, 27, 9 и 4. Прямая проверка совпадает с буквенным решением.
В записи АБ + АБ = ВГГ разные буквы обозначают разные цифры, а А не равно нулю. Это означает, что число АБ складывают само с собой, поэтому сумма равна удвоенному двузначному числу. При разборе нужно учитывать переносы, а затем проверить, не осталось ли нескольких подходящих наборов цифр.
В разряде сотен результат не больше 1, так как удвоенное двузначное число не превосходит 198. Сумма трёхзначная, значит, В = 1.
Перебирая десятки с учётом переноса из единиц, можно получить варианты А = 8, Б = 3, Г = 6 или А = 9, Б = 4, Г = 8. В обоих случаях цифры букв различны, а А не равно нулю.
Проверяем вычисления: 83 + 83 = 166 и 94 + 94 = 188. Оба равенства подходят, поэтому нельзя объявить первое найденное решение единственным.
Ответ: возможны А = 8, Б = 3, В = 1, Г = 6 и А = 9, Б = 4, В = 1, Г = 8. Оба набора удовлетворяют условию, следовательно, решений два.
На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. За ход можно заменить любые два числа их разностью; требуется узнать, можно ли получить пять нулей. Перебирать все последовательности ходов неразумно, потому что их число быстро растёт. Вместо этого проследим за свойством, которое каждый ход меняет предсказуемо.
Посчитаем нечётные числа в начале: это 1, 3 и 5, всего три. Количество нечётных чисел нечётно.
При вычитании двух чисел чётность результата определяется их чётностями. Если оба числа одной чётности, разность чётная; если разной — нечётная.
Поэтому ход либо сохраняет количество нечётных чисел, либо меняет его на два: при замене двух нечётных появляется чётное число, а при замене нечётного и чётного одно нечётное заменяется другим. Чётность количества нечётных чисел остаётся прежней.
Ответ: получить пять нулей нельзя. В начальном наборе количество нечётных чисел нечётно, а среди пяти нулей оно равно нулю, то есть чётно. Инвариант не позволяет перейти от одного значения к другому.
Начинать решение, не уточнив ограничения, — значит рисковать принять недопустимый ход или цифру за подходящий вариант. Так часто происходит, когда условие кажется простым и его читают невнимательно. Перед вычислениями выпишите правила, а после решения проверьте каждый ход и каждую цифру по этому списку.
Считать, что числовой фокус срабатывает для любого числа, не проверив выражение, — значит принимать впечатление за доказательство. Несколько удачных примеров не гарантируют, что так будет всегда, а деление или иное действие может иметь ограничения. Обозначьте число буквой, упростите выражение и отдельно проверьте допустимость исходных значений.
Если в ребусе забыть перенос, цифры соседних разрядов окажутся связаны неверно. Ошибку допускают, когда решают столбик только по последней цифре каждого сложения. Записывайте перенос отдельно для единиц, десятков и следующих разрядов, затем выполните исходное сложение с найденными цифрами.
Перебор без системы легко приводит к пропуску подходящего случая, а первое найденное решение ошибочно принимают за единственное. Это случается, когда варианты выбирают наугад и не отмечают уже проверенные. Перебирайте по разрядам или по возрастанию цифр, соблюдайте ограничения и подтвердите полноту перебора либо найдите другие решения.
Для занимательных задач нужны устный счёт, действия с натуральными числами и понимание разрядного состава числа. Алгебраические выражения помогают разобрать числовые фокусы, а уравнения — находить неизвестные цифры и проверять ограничения. Идея инварианта встречается в олимпиадных задачах, комбинаторике и задачах на стратегии. Навык объяснять каждый шаг полезен и там, где готового алгоритма нет.
Зачем обозначать задуманное число буквой?
Буква позволяет записать неизвестное число и все действия с ним в виде выражения. Так становится видно, зависит ли результат от выбранного числа или всегда один и тот же.
Как понять, что числовой фокус работает всегда?
Обозначьте исходное число буквой и выполните все действия символически. Если выражение упрощается до постоянного числа, фокус работает для всех допустимых исходных чисел.
Могут ли разные буквы в ребусе обозначать одну цифру?
Нет, если сказано, что буквы обозначают разные цифры. Каждой букве соответствует ровно одна цифра, и у разных букв цифры не совпадают.
Как найти свойство, которое не меняется при ходах?
Рассмотрите, как каждый разрешённый ход меняет возможные свойства чисел: например, чётность или количество нечётных чисел. Если свойство остаётся прежним, сравните его значение в начальном наборе и в требуемом результате.
Как убедиться, что решение занимательной задачи единственное?
Нужно проверить все подходящие варианты, а не останавливаться на первом найденном. Используйте ограничения задачи и организованный перебор; затем подставьте каждый оставшийся вариант в исходное условие.
Познавательно и занимательно
