16. Сравнение трёхзначных чисел

Определения и обозначения

Трёхзначное число — число, в записи которого три цифры. Его первая цифра не может быть нулём: запись 057 читается как 57, а это двузначное число. Поэтому трёхзначные числа начинаются с цифры от 1 до 9.

Разряд — место цифры в записи числа, которое определяет её значение. В трёхзначном числе справа налево находятся разряды единиц, десятков и сотен. Например, цифра 4 в числе 426 стоит в разряде сотен и означает четыре сотни.

Разрядный состав числа — представление числа как суммы сотен, десятков и единиц. Так, 426 = 400 + 20 + 6. Эта запись показывает вклад каждой цифры и помогает понять, почему одна цифра при сравнении важнее другой.

Сравнение чисел — установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Для записи результата используют знаки >, < и =. Сравнение по разрядам позволяет определить результат, не пересчитывая числа по единице.

Как это устроено

В трёхзначном числе разряд сотен задаёт количество полных сотен: оно может быть от одной до девяти. Если количество сотен разное, числа относятся к разным группам: например, число с четырьмя сотнями меньше любого числа с пятью сотнями. Десятки и единицы не могут изменить этот вывод, потому что вместе дают не больше 99, а это меньше одной сотни. Поэтому сравнение начинается с разряда сотен.

Когда цифры сотен различаются, больше то число, в котором цифра сотен больше. Например, 426 меньше 581, потому что в первом числе четыре сотни, а во втором — пять. Даже если в числе с меньшим количеством сотен много десятков и единиц, оно не догонит число, у которого на одну сотню больше: две младшие цифры вместе дают только часть следующей сотни. Так старший разряд сразу решает сравнение.

Если цифры сотен равны, сотенная часть у чисел одинаковая, поэтому сравнивать остаётся то, что записано справа от неё. Сначала смотрят на цифры десятков: каждая единица десятков означает десять единиц, поэтому различие здесь важнее возможного различия в единицах. Например, три десятка больше одного десятка, и единицы уже не способны изменить порядок. К разряду единиц переходят только тогда, когда совпали сотни и десятки.

Если совпадают и сотни, и десятки, решающим становится разряд единиц. При одинаковых первых двух цифрах число с большей цифрой единиц будет больше, потому что именно единицы теперь отличают числа. Например, 518 больше 514: сотни и десятки одинаковы, а восемь единиц больше четырёх. Так сравнение шаг за шагом доходит до первого разряда, в котором цифры различаются.

Если все три соответствующие цифры совпали, совпадает и разрядный состав чисел, значит, числа равны. Результат можно записать знаками: 426 < 581, 734 > 719 или 508 = 508. Знаки > и < имеют раскрытую сторону у большего числа, а вершину — у меньшего. Такая проверка помогает не перепутать направление знака после того, как порядок чисел уже установлен.

Порядок сравнения трёхзначных чисел

Пользуйся таблицей сверху вниз: на каждом шаге сравнивай цифры одного и того же разряда. Как только они различились, сравнение закончено — к следующим разрядам переходить не нужно. Если дошёл до конца и цифры совпали, числа равны.

Разбор задач

Задача 1. Сравните 426 и 581. Начинаем с цифр сотен, потому что этот разряд определяет количество полных сотен. В числе 426 их четыре, а в 581 — пять. Значит, первое число меньше, и знак должен раскрыться в сторону 581.

1. Сравниваем сотни: 4 < 5.
2. Так как цифры сотен различны, десятки и единицы не рассматриваем.
3. Записываем результат: 426 < 581.

Ответ: 426 < 581.

Задача 2. Сравните 734 и 719. Сначала проверяем сотни: в обоих числах стоит цифра 7, поэтому этот разряд не помогает выбрать большее число. Переходим к десяткам: 3 больше 1. Значит, в 734 на три десятка больше, и разность единиц уже не меняет результата.

1. Сотни равны: 7 = 7.
2. Сравниваем десятки: 3 > 1.
3. На этом останавливаемся и записываем: 734 > 719.

Ответ: 734 > 719.

Задача 3. Расположите числа 508, 580 и 518 в порядке возрастания. Порядок возрастания означает, что каждое следующее число должно быть больше предыдущего. У всех чисел одинаковая цифра сотен — 5, поэтому начинаем различать их по десяткам. В числе 580 стоит 8 десятков, а в 508 и 518 — соответственно 0 и 1 десяток; между последними двумя числами решат единицы.

1. Сравниваем сотни: во всех числах по 5 сотен.
2. Сравниваем десятки: 0 < 1 < 8, поэтому 508 меньше 518 и 580, а 580 больше обоих.
3. Проверяем порядок двух чисел с меньшими десятками: у 508 цифра единиц 8, у 518 — 8. Сотни, десятки и единицы совпадают? Нет: цифры десятков 0 и 1 различны, значит, ранее установленный порядок сохраняется.
4. Записываем числа от меньшего к большему: 508, 518, 580.

Ноль в числе 508 занимает разряд десятков и означает отсутствие десятков. Он не пропускается при чтении разрядов: сотни всё равно сравниваются первыми, затем десятки, затем единицы.

Ответ: 508, 518, 580.

Типичные ошибки

Сравнивать справа налево. Можно сначала заметить единицы и решить, что они определяют результат, но разряды имеют разную ценность. Проверяй себя: начинай запись сравнения с сотен и двигайся вправо только при равенстве предыдущих цифр.

Считать, что большее число единиц всегда означает большее число. Это верно лишь тогда, когда совпадают сотни и десятки. Ошибка возникает, если отдельную заметную цифру принимают за главный показатель. Перед сравнением единиц убедись, что обе цифры сотен и обе цифры десятков равны.

Сравнивать сумму цифр вместо разрядного состава. Например, у 123 и 132 сумма цифр одинакова, но числа не равны: различаются десятки. Сумма не показывает, в каких именно разрядах стоят цифры. Проверяй числа по разрядам, а не складывай цифры.

Поставить знак в неверную сторону. После правильного сравнения легко случайно написать знак остриём к большему числу. Ошибку допускают, если запоминают знак, не связывая его с порядком чисел. Прочитай запись вслух и проверь, что раскрытая сторона > или < обращена к большему числу.

Связь с другими темами

Перед сравнением полезно знать значение цифры в записи числа и названия разрядов единиц, десятков и сотен. Эти знания объясняют, почему цифра в разных местах имеет разную ценность и почему сравнение начинают слева. Умение сравнивать числа нужно, когда их упорядочивают по возрастанию или убыванию, выбирают числа для округления и проверяют результат арифметических действий. Оно помогает оценить, разумен ли полученный ответ.

Что запомнить

• Трёхзначное число начинается с цифры от 1 до 9.
• Сравнение начинают с разряда сотен.
• При разных цифрах сотен больше число с большей цифрой сотен.
• Если сотни равны, сравнивают десятки.
• Если равны сотни и десятки, сравнивают единицы.
• Если совпадают все соответствующие цифры, числа равны.