2.7. Сравнение трёхзначных чисел

Определения и обозначения

Трёхзначное число — натуральное число, в записи которого три цифры, причём первая цифра не равна нулю. Например, 407 — трёхзначное число, а 078 в обычной записи обозначает двузначное число 78. Это определение помогает отличать числа по количеству цифр и правильно читать их запись.

Разряд — место цифры в записи числа, которое определяет её значение: в трёхзначном числе это сотни, десятки или единицы. Например, в числе 352 цифра 3 стоит в разряде сотен, 5 — десятков, а 2 — единиц. Знание разрядов нужно, чтобы понять, какую часть числа обозначает каждая цифра.

Разрядная единица — единица счёта соответствующего разряда: 1 для единиц, 10 для десятков и 100 для сотен. Так, пять десятков — это 5 × 10, то есть 50, а пять сотен — 5 × 100, то есть 500. Это понятие объясняет, почему одна и та же цифра может вносить в число разный вклад.

Сравнение чисел — установление того, какое из чисел больше, меньше или равно другому; для этого используют знаки >, < и =. Например, запись 326 < 581 означает, что 326 меньше 581. Знаки позволяют коротко записать результат сравнения и увидеть порядок чисел.

Как это устроено

Трёхзначное число записывают тремя цифрами: первая показывает число сотен, вторая — десятков, третья — единиц. Например, в числе 326 содержатся 3 сотни, 2 десятка и 6 единиц. Такой способ записи удобен потому, что число раскладывается на группы разного размера, а место каждой цифры сразу показывает её роль.

Любое трёхзначное число можно представить суммой разрядных слагаемых. Например, 326 = 300 + 20 + 6: цифра 3 обозначает три сотни, цифра 2 — два десятка, цифра 6 — шесть единиц. Разложение показывает, что цифра сама по себе не задаёт величину слагаемого: её нужно умножить на значение разрядной единицы. Поэтому цифра 3 в разряде сотен означает 300, а в разряде единиц — только 3.

При сравнении сначала смотрят на цифры сотен. Сотня больше любого количества десятков и единиц, которое может быть в оставшейся части трёхзначного числа: например, 500 больше 499. Поэтому если в одном числе сотен больше, чем в другом, оно сразу больше целиком; цифры десятков и единиц уже не могут изменить этот вывод.

Если цифры сотен равны, сотенная часть у чисел одинаковая, поэтому сравнивают цифры десятков. Например, 470 и 450 содержат по четыре сотни, но в первом числе семь десятков, а во втором — пять. Если же равны и цифры десятков, сравнение сотен и десятков результата не даёт, поэтому переходят к единицам: именно там может обнаружиться различие.

Если совпадают все три цифры, числа равны, потому что в них одинаковы сотни, десятки и единицы. Запись 581 = 581 означает, что ни одно число не больше другого. При неравенстве направление знака тоже важно: его раскрытая часть обращена к большему числу, например 326 < 581, а не 326 > 581.

Порядок сравнения трёхзначных чисел

Пользуйся таблицей сверху вниз: переходи к следующему разряду только тогда, когда цифры в предыдущем разряде одинаковые. Как только нашлось различие, оно определяет, какое число больше. Если различий нет, числа равны.

Разбор задач

Задача. Сравни числа 326 и 581. Чтобы не отвлекаться на десятки и единицы раньше времени, проверяем разряды слева направо. Первый разряд — сотни — уже даст ответ, если цифры в нём разные.

1. Сравниваем цифры сотен: в числе 326 это 3, а в числе 581 — 5.
2. Так как 3 < 5, в числе 326 меньше сотен. К десяткам и единицам переходить не нужно.
3. Записываем знак так, чтобы меньшему числу соответствовала острая часть: 326 < 581.

Ответ: 326 < 581. Здесь решающим оказалось различие в разряде сотен. Даже если бы у меньшего числа было больше десятков или единиц, это не изменило бы сравнение.

Задача. Сравни числа 472 и 458. Обе записи начинаются с цифры 4, значит, сначала числа содержат одинаковое количество сотен. Нужно выяснить, одинаковы ли их следующие разряды и какой из них определит результат.

1. Сравниваем сотни: 4 = 4, поэтому переходим к десяткам.
2. Сравниваем десятки: 7 > 5. В числе 472 семь десятков, а в числе 458 — пять.
3. Число 472 больше, поэтому ставим знак: 472 > 458. Цифры единиц уже не проверяем.

Ответ: 472 > 458. Десятки определили результат, потому что цифры сотен совпали. Направление знака проверяем отдельно: его раскрытая сторона обращена к 472, большему числу.

Задача. Расположи числа 634, 639 и 631 в порядке возрастания. Возрастание означает, что каждое следующее число больше предыдущего. Сотни и десятки у всех трёх чисел совпадают, поэтому для их упорядочивания понадобятся единицы.

1. Сравниваем сотни: у всех чисел цифра 6. Затем сравниваем десятки: у всех цифра 3.
2. Сравниваем единицы: 1 < 4 < 9, значит, соответствующие числа идут в таком же порядке.
3. Записываем результат от меньшего к большему: 631, 634, 639.

Ответ: 631, 634, 639. Первые две цифры не различают эти числа, поэтому решающими стали единицы. При совпадающих старших разрядах именно сравнение последнего разряда позволяет установить порядок.

Типичные ошибки

Ошибка — сравнивать цифры не по разрядам слева направо, а искать любое первое замеченное различие. Так можно принять цифру десятков одного числа за более важную, хотя сотни уже показывают обратное. Проверка: каждый раз сопоставляй сначала сотни, затем десятки и только потом единицы.

Ошибка — считать, что больше число с большей суммой цифр. Например, сумма цифр не учитывает, что сотни весят намного больше единиц, поэтому такой способ не определяет величину числа. Проверка: разложи числа на сотни, десятки и единицы и найди первый различающийся разряд.

Ошибка — путать разряды десятков и единиц, считая одинаковые цифры равными по значению. Но 4 десятка — это 40, а 4 единицы — только 4, так что место цифры принципиально важно. Проверка: назови разряд каждой цифры и при необходимости представь число как сумму разрядных слагаемых.

Ошибка — направить знак неравенства к меньшему числу. Такое случается, если запомнить знак по виду, но не соотнести его с числами. Проверка: прочитай запись словами и убедись, что знак означает верное утверждение; раскрытая сторона > или < смотрит на большее число.

Связь с другими темами

Для сравнения трёхзначных чисел нужно знать натуральный ряд чисел, десятичную запись и разряды единиц, десятков и сотен. Эти знания объясняют, почему запись читают по позициям и как находят значение каждой цифры. Навык сравнения пригодится, когда нужно упорядочить числа, решить неравенство или работать с многозначными числами. При переходе к большим числам применяется тот же принцип: сравнение начинают со старшего разряда.

Что запомнить

• В трёхзначном числе три цифры, первая из них не равна нулю.
• Цифра сотен показывает число сотен, цифра десятков — число десятков, цифра единиц — число единиц.
• Сравнение начинают с разряда сотен.
• Если сотни равны, сравнивают десятки.
• Если равны сотни и десятки, сравнивают единицы.
• Если совпадают все цифры, числа равны.