18. Сложение и вычитание трёхзначных чисел без перехода через разряд

Определения и обозначения

Трёхзначное число — число, в записи которого есть цифры сотен, десятков и единиц. Например, число 352 состоит из 3 сотен, 5 десятков и 2 единиц. Это помогает представить число как сумму разрядных слагаемых: 352 = 300 + 50 + 2. Такое представление нужно, чтобы выполнять вычисления отдельно в каждом разряде.

Разряд — позиция цифры в записи числа: единицы, десятки или сотни. Одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от места: в числе 444 она обозначает 4 единицы, 4 десятка и 4 сотни. Поэтому при вычислениях важно не смешивать цифры с разными значениями. Разряды также подсказывают, как правильно записывать числа столбиком.

Сложение без перехода через разряд — сложение, при котором сумма цифр каждого разряда не достигает 10. Например, в записи 243 + 125 в разрядах получаются суммы 3 + 5, 4 + 2 и 2 + 1. Ни одна из них не равна 10 или не превышает 10, поэтому дополнительную единицу в соседний разряд переносить не нужно. Это определение помогает заранее выбрать простой способ вычисления.

Вычитание без перехода через разряд — вычитание, при котором в каждом разряде цифры уменьшаемого достаточно для вычитания. Например, при вычислении 587 − 243 можно вычесть 3 из 7, 4 из 8 и 2 из 5. Занимать единицу у соседнего разряда не требуется. Проверка этого условия помогает понять, можно ли вычитать цифры по отдельности.

Как это устроено

Разрядный состав определяет значение каждой цифры: сотни обозначают группы по сто, десятки — группы по десять, единицы — отдельные предметы или единицы счёта. Так, 326 означает 3 сотни, 2 десятка и 6 единиц, то есть 300 + 20 + 6. Если цифры поменять местами, число изменится, потому что изменятся их разряды. Именно поэтому сначала важно определить место каждой цифры, а уже потом выполнять действия.

При сложении единицы складывают с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, потому что складывать нужно одинаковые по величине группы. Например, 3 единицы и 5 единиц дают 8 единиц, а 4 десятка и 2 десятка дают 6 десятков. Если сложить цифру единиц с цифрой десятков, получится неверное значение: группы по одному и группы по десять нельзя считать как одинаковые. Разрядная запись сохраняет смысл числа и помогает не допустить такой путаницы.

Поразрядное сложение удобно записывать столбиком: числа располагают так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками, а сотни под сотнями. Затем считают справа налево — сначала единицы, потом десятки и сотни — и записывают цифры результата в соответствующих разрядах. Если сумма в разряде меньше 10, она целиком помещается в этом разряде. Поэтому при сложении без перехода не появляется новая цифра слева от уже записанных разрядов.

При вычитании без перехода в каждом разряде уменьшаемого цифра не меньше соответствующей цифры вычитаемого. Поэтому можно вычесть единицы из единиц, десятки из десятков и сотни из сотен, не меняя состав числа. Занимать единицу у соседнего разряда пришлось бы только тогда, когда в текущем разряде не хватает единиц для вычитания. Если недостатка нет, такое преобразование не нужно и может привести к ошибке.

Вычитание выполняют поразрядно справа налево: сначала единицы, затем десятки и сотни. Полученную разность можно проверить обратным действием: прибавить к ней вычитаемое и сравнить сумму с уменьшаемым. Проверка полезна, потому что обнаруживает ошибки в отдельных разрядах, даже если итоговое число выглядит правдоподобно. При проверке нужно снова аккуратно располагать одноимённые разряды друг под другом.

Сложение и вычитание трёхзначных чисел без перехода через разряд

В таблице собраны правила для действий и записи чисел. Перед вычислением посмотри, какие цифры стоят в каждом разряде и выполняется ли условие отсутствия перехода. После вычисления выбери обратное действие для проверки.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 243 + 125. Сначала убеждаемся, что числа удобно сложить по разрядам: единицы стоят напротив единиц, десятки — напротив десятков, сотни — напротив сотен. В каждом разряде сумма меньше 10, значит, переносить единицу не придётся. Выполняем действие справа налево.

1. Складываем единицы: 3 + 5 = 8. Записываем 8 в разряд единиц.
2. Складываем десятки: 4 + 2 = 6. Записываем 6 в разряд десятков.
3. Складываем сотни: 2 + 1 = 3. Получаем число 368.

Ответ: 368. Можно проверить результат вычитанием: 368 − 125 = 243. Значит, исходное сложение выполнено верно.

Задача 2. Вычислить: 587 − 243. Сравниваем цифры в одинаковых разрядах: 7 больше 3, 8 больше 4, 5 больше 2. Значит, вычитания хватит в каждом разряде и занимать единицу не нужно. Считаем справа налево.

1. Вычитаем единицы: 7 − 3 = 4. Записываем 4 в разряд единиц.
2. Вычитаем десятки: 8 − 4 = 4. Записываем 4 в разряд десятков.
3. Вычитаем сотни: 5 − 2 = 3. Получаем число 344.

Ответ: 344. Проверяем сложением: 344 + 243 = 587. Мы получили уменьшаемое, поэтому разность найдена правильно.

Задача 3. Вычислить удобным способом и проверить результат: 364 + 215 − 142. Здесь два действия, и после первого полезно убедиться, что полученное число можно вычесть без перехода. Сначала складываем: в разрядах получаются 4 + 5 = 9, 6 + 1 = 7 и 3 + 2 = 5. Затем вычитаем 142 из 579.

1. Вычисляем сумму: 364 + 215 = 579.
2. Вычитаем единицы: 9 − 2 = 7; десятки: 7 − 4 = 3; сотни: 5 − 1 = 4.
3. Получаем 579 − 142 = 437. Проверяем вычитание: 437 + 142 = 579.
4. Проверяем всю цепочку обратным действием: 437 + 142 − 215 = 364.

Ответ: 437. Обратное действие вернуло исходное число, поэтому результат проверен. Каждый разряд при вычислениях оставался на своём месте.

Типичные ошибки

Не выравнивают числа по правому краю. Тогда цифры разных разрядов оказываются друг под другом, и ученик складывает, например, единицы с десятками. Такая ошибка возникает, если ориентироваться на начало записи, а не на разряд. Проверь, что последние цифры чисел стоят в одном столбце.

Начинают вычисления с сотен. При сложении или вычитании без перехода это не обязательно приводит к неверному ответу, но нарушает удобный порядок, который нужен для письменных вычислений с переходом. Ученик может забыть проверить единицы или неправильно записать промежуточный результат. Начинай справа, с единиц, и последовательно двигайся влево.

Ошибочно выполняют переход через разряд. Иногда ученик переносит или занимает единицу по привычке, хотя сумма меньше 10 или цифры хватает для вычитания. В результате разряды изменяются без причины. Перед действием сравни цифры в соответствующем разряде или найди их сумму.

Записывают результат с неверным количеством цифр или пропускают ноль. Ошибка появляется, когда забывают, что каждый столбец отвечает за свой разряд, или торопятся записывать ответ. Например, ноль в разряде десятков нельзя просто опустить, если он нужен для сохранения значения числа. Пересчитай разряды ответа и проверь его обратным действием.

Связь с другими темами

Для вычислений нужно знать разрядный состав чисел, значение цифры в записи числа и таблицу сложения и вычитания в пределах 10. Эти знания позволяют работать с сотнями, десятками и единицами как с отдельными группами. Следующая ступень — сложение и вычитание с переходом через разряд, когда в каком-то столбце возникает перенос или приходится занимать единицу. Освоенный порядок пригодится при письменных действиях с многозначными числами и решении текстовых задач.

Что запомнить

• В трёхзначном числе цифры обозначают сотни, десятки и единицы.
• При записи столбиком одноимённые разряды располагают друг под другом.
• Сложение начинают с единиц и выполняют по разрядам.
• Вычитание начинают с единиц и выполняют по разрядам.
• При отсутствии перехода сумма цифр разряда меньше 10.
• При отсутствии перехода при вычитании не нужно занимать единицу у соседнего разряда.
• Результат вычисления полезно проверять обратным действием.