"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Умножение и деление проверяют друг другом, потому что это обратные действия: произведение можно разделить на множитель, а результат деления — умножить на делитель. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислениях. При делении с остатком нужно не забыть прибавить остаток и убедиться, что он меньше делителя. Проверочное действие тоже следует выполнять внимательно: его ошибка может скрыть неверный ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Проверка умножения делением — это способ проверить произведение: его делят на один из множителей и смотрят, получается ли второй. Например, для равенства 4 · 5 = 20 можно вычислить 20 : 4. Так можно не только заметить ошибку в произведении, но и найти неизвестный множитель, если известны произведение и другой множитель.
Проверка деления умножением — это способ проверить частное: частное умножают на делитель и сравнивают результат с делимым. При правильном делении без остатка числа должны совпасть. Проверка нужна, чтобы убедиться, что найдено именно такое число групп, которое вместе с делителем даёт исходное делимое.
Обратные действия — действия, которые позволяют восстановить исходное число после выполнения друг друга. Умножение и деление связаны именно так: произведение, разделённое на множитель, даёт другой множитель, а частное, умноженное на делитель, даёт делимое. Эта связь помогает выбирать проверку для каждого из двух действий.
Проверка деления с остатком — это проверка, при которой делитель умножают на частное и к произведению прибавляют остаток. В результате должно получиться делимое, а остаток должен быть меньше делителя. Оба условия нужны, чтобы убедиться, что часть делимого не потеряли и что деление доведено до конца.
Умножение и деление называют обратными действиями, потому что деление может отменить умножение. Если число a умножить на b и получить c, то в равенстве c : a = b действие умножения как бы разворачивается назад. Это возможно потому, что произведение состоит из одинаковых групп: деление на число групп показывает, сколько предметов приходится на одну группу. Поэтому связь действий позволяет проверять вычисления.
Чтобы проверить умножение, произведение делят на один из тех множителей, которые участвовали в вычислении. Например, если получилось c, то вычисляют c : a и проверяют, равно ли значение b. Можно вместо этого найти c : b и сравнить с a. Результат должен совпасть с оставшимся множителем, ведь именно он был нужен, чтобы из выбранного множителя получить произведение.
При делении без остатка частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом. Поэтому для проверки количество таких раз умножают на размер каждой группы: частное · делитель должно дать делимое. Если произведение меньше или больше делимого, значит, при вычислении частного допущена ошибка либо ошиблись в проверке. Например, равенство 156 : 12 = 13 проверяется умножением 13 · 12.
При делении с остатком частное учитывает только полные группы, а остаток — то, что в них не вошло. Поэтому сначала восстанавливают количество предметов в полных группах: частное умножают на делитель, затем прибавляют оставшиеся предметы. Проверка состоит из двух частей: результат должен быть равен делимому, а остаток должен быть меньше делителя. Если остаток равен делителю или больше него, можно выделить ещё одну полную группу, значит, частное выбрано неверно.
Проверка полезна, потому что сравнение результата с исходным числом часто быстро обнаруживает ошибку. Но она не является безусловной гарантией: можно неверно выполнить и само проверочное действие. Например, при проверке деления можно ошибиться в умножении частного на делитель и принять неправильный ответ за верный. Поэтому вычисления при проверке нужно выполнять внимательно, а при сомнении пересчитать или проверить другим способом.
| Что проверяем | Какое действие выполняем | Что должно получиться |
|---|---|---|
| Умножение a · b = c | Разделить c на один из множителей | При c : a получится b; при c : b получится a |
| Деление c : a | Умножить результат деления на делитель a | Должно получиться делимое c |
| Деление c : b | Умножить результат деления на делитель b | Должно получиться делимое c |
| Деление без остатка a : b = c | Умножить частное c на делитель b | Должно получиться делимое a |
| Деление с остатком a : b = c (ост. r) | Умножить c на b и прибавить r | Должно получиться a; остаток r меньше b |
Сначала найди в таблице действие, которое нужно проверить, а затем выполни указанное обратное действие. В делении с остатком проверь и равенство для делимого, и условие для остатка. Если проверка не сошлась, вернись к исходному вычислению и найди место ошибки.
Задача 1. Проверь умножение 24 · 3 = 72. Здесь известны оба множителя и заявленное произведение. Чтобы проверить умножение, нужно разделить произведение на один из исходных множителей и сравнить результат с другим. Выберем деление на 3: так легко проверить, сколько раз по 3 содержится в 72.
Ответ: умножение выполнено верно, потому что 72 : 3 = 24. Можно было разделить произведение на 24 и получить 3: оба способа проверяют одно и то же равенство.
Задача 2. Проверь деление 156 : 12 = 13. Здесь 156 — делимое, 12 — делитель, 13 — частное. Частное показывает, сколько групп по 12 содержится в 156, поэтому для проверки восстановим делимое. Для этого умножим число групп на размер каждой группы.
Ответ: деление выполнено верно, так как 13 · 12 = 156. Если бы получилось другое число, нужно было бы перепроверить вычисление частного или умножение при проверке.
Задача 3. Проверь деление с остатком 157 : 12 = 13 (ост. 1). Частное 13 учитывает полные группы по 12, а число 1 показывает, сколько единиц осталось. Поэтому одного умножения 13 на 12 недостаточно: оно вернёт только сумму в полных группах. К ней нужно прибавить остаток.
Ответ: деление с остатком выполнено верно, потому что 12 · 13 + 1 = 157 и остаток 1 меньше делителя 12. Если бы остаток оказался не меньше 12, значит, можно было бы выделить ещё одну полную группу.
При проверке умножения иногда делят произведение на само произведение, хотя нужно разделить его на один из исходных множителей. Так путают результат действия и числа, с помощью которых его получили. Проверь себя: в делении должны участвовать произведение и один из множителей, а ответ должен совпасть со вторым множителем.
При проверке деления могут умножить делимое на делитель вместо того, чтобы умножить частное на делитель. Такая ошибка возникает, когда путают названия компонентов деления. Перед вычислением назови частное и делитель, затем перемножь именно их; результат сравни с делимым.
В делении с остатком иногда умножают частное на делитель, но забывают прибавить остаток. Произведение в таком случае показывает только число единиц в полных группах, а не всё делимое. Для самопроверки запиши равенство целиком: делитель · частное + остаток = делимое.
Ещё одна ошибка — проверить равенство с остатком, но не сравнить остаток с делителем. Это допускают, если сосредоточиться только на совпадении делимого. После проверки суммы обязательно проверь условие r < b: остаток должен быть меньше делителя. Иначе деление с остатком записано некорректно.
Для этой темы нужно знать, как называются компоненты умножения и деления, и уверенно пользоваться таблицей умножения. Правила проверки основаны на связи этих действий и применяются при вычислениях с натуральными числами. Они пригодятся, когда нужно проверить неизвестное число в уравнении или оценить вычисления в текстовой задаче. Понимание компонентов помогает быстро выбрать, что именно умножать или делить.
Как проверить умножение делением?
Раздели произведение на один из исходных множителей. Если получилось другое исходное число, умножение выполнено верно. Например, 24 · 3 = 72 проверяем так: 72 : 3 = 24.
Как проверить деление умножением?
Умножь частное на делитель и сравни результат с делимым. Если числа равны, деление без остатка выполнено верно. Например, для 156 : 12 = 13 проверка такая: 13 · 12 = 156.
Можно ли проверить умножение делением на любой из множителей?
Да, произведение можно разделить на любой из двух множителей. В результате должно получиться число, которое стояло на месте второго множителя. Например, 72 : 24 = 3 и 72 : 3 = 24.
Как проверить деление с остатком?
Умножь частное на делитель и прибавь остаток. Полученное число должно совпасть с делимым. Также проверь, что остаток меньше делителя.
Почему остаток должен быть меньше делителя?
Если остаток не меньше делителя, из него можно выделить ещё одну полную группу, равную делителю. Значит, частное можно увеличить, а остаток уменьшить. Поэтому при правильном делении с остатком выполняется условие: остаток меньше делителя.
26. Проверка умножения и деления
