Проверка умножения и деления

Определения и обозначения

Умножение — это действие, при котором одинаковое число складывают несколько раз. Числа, которые умножают, называют множителями, а результат называют произведением. Например, в записи 4 · 6 = 24 числа 4 и 6 — множители, а 24 — произведение. Проверка умножения нужна, чтобы узнать, верно ли найден результат.

Деление — действие, с помощью которого число разбивают на равные части или узнают, сколько раз одно число содержится в другом. Число, которое делят, называется делимым, число, на которое делят, — делителем, а результат — частным. В записи 24 : 6 = 4 число 24 — делимое, 6 — делитель, 4 — частное. Деление помогает проверить умножение, потому что оно является обратным действием.

Проверка действия — это новое вычисление, связанное с первым действием. Умножение проверяют делением, а деление — умножением. Если при проверке получается нужное число, исходный пример решён правильно. Если результат не совпал, вычисление нужно выполнить заново.

Как это устроено

Умножение и деление называют взаимно обратными действиями, потому что одно действие может отменить другое. Если 7 умножить на 3, получится 21, а если 21 разделить на 3, снова получится 7. Поэтому произведение можно разделить на один множитель и получить второй множитель. Так проверяют, не ошиблись ли при умножении.

При проверке умножения важно не делить произведение на тот же множитель, который уже выбран в качестве ответа для проверки. Например, после записи 8 · 5 = 40 можно выполнить 40 : 8 = 5 или 40 : 5 = 8. Оба варианта подходят, потому что каждый множитель связан с произведением. Если частное не совпало с другим множителем, в умножении есть ошибка.

Деление проверяют умножением, потому что делимое получается из делителя и частного. В примере 36 : 4 = 9 нужно вычислить 9 · 4. Если произведение равно 36, деление выполнено верно. При проверке удобно сначала назвать частное, затем делитель, чтобы не перепутать числа.

Иногда деление выполняется с остатком. Тогда одного умножения частного на делитель недостаточно: к полученному произведению прибавляют остаток. Например, при 23 : 5 = 4 (ост. 3) проверка выглядит так: 5 · 4 + 3 = 23. Остаток должен быть меньше делителя, иначе деление с остатком записано неверно.

Связь действий при проверке

Сначала найдите в исходном примере результат действия. Затем выберите обратное действие из таблицы и подставьте в него известные числа. Проверка считается правильной, если после вычисления снова получается нужное число.

Разбор задач

Задача 1. Нужно проверить умножение 7 · 8 = 56. Для проверки используем деление, потому что произведение при делении на один множитель должно дать другой множитель. Можно выполнить проверку двумя способами, но достаточно одного.

1. Находим произведение: 7 · 8 = 56.
2. Делим произведение на первый множитель: 56 : 7 = 8.
3. Сравниваем полученное частное со вторым множителем: получилось 8, значит, числа совпали.

Ответ: умножение выполнено верно. Дополнительная проверка дала бы такой же вывод: 56 : 8 = 7.

Задача 2. Нужно проверить деление 45 : 5 = 9. Деление проверяем умножением частного на делитель, потому что именно так получается делимое. Нельзя сразу умножать делимое на частное: для проверки нужны результат деления и число, на которое делили.

1. Определяем частное: в примере 45 : 5 = 9 частное равно 9.
2. Умножаем частное на делитель: 9 · 5 = 45.
3. Сравниваем результат с делимым: получилось 45, поэтому исходное деление верное.

Ответ: деление выполнено правильно. Если бы при умножении получилось не 45, нужно было бы исправить частное или заново выполнить деление.

Типичные ошибки

Ошибка 1: умножение проверяют сложением произвольных чисел. Так нельзя, потому что проверочное действие должно быть связано с исходным примером. Выполните деление произведения на один множитель и сравните результат с другим множителем.

Ошибка 2: при проверке деления путают делимое и делитель. Ученик может умножить частное на делимое, хотя нужно умножать его на делитель. Посмотрите на исходную запись: делитель стоит после знака «:», и именно его умножают на частное.

Ошибка 3: забывают остаток. При делении с остатком произведение частного и делителя будет меньше делимого. Прибавьте остаток и проверьте, получилось ли исходное делимое; остаток при этом должен быть меньше делителя.

Связь с другими темами

Проверка умножения и деления связана с таблицей умножения. Чем лучше вы её знаете, тем быстрее находите частное и замечаете ошибку. Также эта тема помогает решать текстовые задачи, где нужно распределять предметы поровну или находить общее количество.

Связь обратных действий пригодится при решении уравнений. Например, в равенстве x · 6 = 42 неизвестный множитель можно найти делением: x = 42 : 6. Значит, проверка помогает не только контролировать ответ, но и находить неизвестное число.

Что запомнить

• Умножение проверяют делением произведения на один из множителей.
• Деление без остатка проверяют умножением частного на делитель.
• При делении с остатком проверяют равенство: делитель · частное + остаток = делимое.
• Остаток всегда должен быть меньше делителя.
• Если результат проверки не совпал, исходное действие нужно вычислить заново.