З Знаки сравнения >, <, =

Определения и обозначения

Сравнение чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Иными словами, мы выясняем порядок чисел или проверяем, одинаковы ли их значения. Это нужно, чтобы правильно записывать результаты вычислений, упорядочивать числа и решать задачи.

Знак больше (>) показывает, что число слева больше числа справа. Например, запись 8 > 5 читается: «восемь больше пяти». Такой знак помогает коротко записать результат сравнения.

Знак меньше (<) означает, что число слева меньше числа справа. Запись 3 < 7 читается: «три меньше семи». Знак используют, когда первое число занимает меньшее место в порядке чисел.

Равенство (=) — запись того, что два числа имеют одинаковое значение. В записи 6 = 6 обе стороны обозначают одно и то же число. Равенство отличается от сравнения разных чисел тем, что его стороны можно поменять местами без изменения смысла.

Как это устроено

Расположение чисел на координатном луче сразу показывает результат сравнения. Луч обычно направлен вправо, и при движении вправо значения увеличиваются на единицу или на выбранный шаг. Поэтому точка, соответствующая большему числу, расположена правее точки меньшего числа. Например, 9 находится правее 4, значит, 9 > 4.

Знак сравнения напоминает раскрытый угол. Его широкая, раскрытая сторона обращена к большему числу, потому что она как бы «принимает» большее значение, а острый конец указывает на меньшее. В записи 2 < 6 острый конец направлен к двойке, а раскрытая сторона — к шестёрке. Если поменять числа местами, знак тоже изменится: 6 > 2.

Чтобы составить запись, сначала определяют, какое число больше или меньше, а затем выбирают расположение чисел. Если условие требует сравнить 7 и 4 в указанном порядке, первым записывают 7, вторым — 4, поэтому получается 7 > 4. Числа в записи нельзя менять местами без изменения знака: равносильная запись будет 4 < 7. После этого полезно прочитать всю запись слева направо.

Сравнивать числа можно по их составу, разрядному значению и положению на луче. У многозначного числа сначала сравнивают количество цифр, затем цифры старших разрядов: тысячи важнее сотен, сотни важнее десятков, десятки важнее единиц. Равные цифры в старших разрядах пропускают и переходят к следующему разряду. Если все цифры совпали, числа равны; если хотя бы одна первая различающаяся цифра больше, больше и всё число.

Равенство и неравенство имеют разный смысл. Запись 12 = 12 утверждает одинаковое значение чисел, а запись 12 > 9 или 9 < 12 показывает их различие. Проверить знак можно двумя способами: посмотреть на числа на луче или прочитать запись словами. Если прочитанное утверждение неверно, знак нужно заменить.

Знаки сравнения чисел

Таблица помогает выбрать знак по смыслу записи и проверить, как она читается. Сначала определите, равны ли числа, а если нет, установите, какое из них больше. Затем убедитесь, что раскрытая сторона знака обращена к большему числу.

Разбор задач

Сравнить числа 7 и 4

Нужно сравнить два числа и записать результат в том же порядке, в каком они даны. Числа небольшие, поэтому их можно найти на координатном луче или пересчитать. Число 7 расположено правее числа 4, значит, оно больше.

1. Определяем большее число: 7 > 4.
2. Записываем числа слева направо: сначала 7, затем 4.
3. Ставим знак, раскрытый в сторону семёрки: 7 > 4.

Ответ: 7 > 4.

Сравнить пары чисел 12 и 19, 25 и 25, 31 и 13

Каждую пару рассматриваем отдельно и сохраняем исходный порядок чисел. На луче 19 находится правее 12, а 31 — правее 13. Вторая пара состоит из одинаковых чисел, поэтому для неё нужен знак равенства.

1. Для пары 12 и 19: 12 левее 19, поэтому 12 < 19.
2. Для пары 25 и 25: числа совпадают, поэтому 25 = 25.
3. Для пары 31 и 13: 31 правее 13, поэтому 31 > 13.

Ответ: 12 < 19; 25 = 25; 31 > 13.

Вставить знак: 48 □ 84, 306 □ 306, 520 □ 502

Здесь числа многозначные, поэтому сравниваем их по правилам разрядов. Сначала смотрим на количество цифр, а при одинаковом количестве — на цифры слева направо. Как только найдены разные цифры, дальнейшие разряды уже не влияют на результат.

1. 48 и 84 имеют по две цифры; сравниваем десятки: 4 меньше 8, значит, 48 < 84.
2. 306 и 306 полностью совпадают, значит, 306 = 306.
3. У 520 и 502 одинаковое число цифр и одинаковые сотни. Сравниваем десятки: 2 больше 0, значит, 520 > 502.

Ответ: 48 < 84; 306 = 306; 520 > 502.

Типичные ошибки

Иногда записывают 3 > 8, потому что смотрят только на острый конец знака. Ошибка возникает, если забыть, что раскрытая сторона должна быть обращена к большему числу. Проверка простая: прочитайте запись словами и сравните её с положением чисел на луче.

Знаки > и < путают при чтении слева направо. Например, запись 4 < 9 ошибочно читают как «четыре больше девяти». Нужно начинать чтение с первого числа и называть знак именно между ним и вторым числом.

Между одинаковыми числами иногда ставят знак неравенства. Так происходит, когда ученик считает сам факт двух записанных чисел признаком различия. Сравните значения по цифрам: если все цифры совпадают, ставьте = и прочитайте запись со словом «равно».

При сравнении многозначных чисел начинают с единиц. Такой способ может привести к ошибке: например, 31 больше 28, хотя 1 меньше 8. Сначала сравнивайте количество цифр и старшие разряды, а к единицам переходите только при совпадении предыдущих цифр.

Связь с другими темами

До изучения знаков сравнения нужно уметь считать, располагать числа по возрастанию и убыванию и находить их на координатном луче. Эти навыки объясняют, почему правое число больше левого. Без них трудно выбрать направление знака.

Правила сравнения применяются не только к натуральным числам. Позже с помощью тех же знаков сравнивают целые, дробные и десятичные числа, учитывая их положение на числовой прямой.

Знаки сравнения нужны для записи неравенств, упорядочивания чисел и решения текстовых задач. По знаку в условии можно понять, какое количество больше, меньше или равно другому.

Что запомнить

• Число, расположенное на координатном луче правее, больше числа, расположенного левее.
• Знак > читают «больше», а знак < — «меньше».
• Раскрытая сторона знака обращена к большему числу.
• Острый конец знака обращён к меньшему числу.
• Для записи равенства используют знак =.
• При сравнении многозначных чисел сначала сравнивают количество цифр, затем цифры старших разрядов.
• Результат сравнения записывают между двумя числами.