Сложение и вычитание. Скобки

Определения и обозначения

Сложение — действие, при котором к одному числу прибавляют другое; результат называют суммой. Например, в записи 6 + 4 = 10 числа 6 и 4 складывают, а 10 — сумма. Это действие помогает объединить количества и записать их общим выражением.

Вычитание — действие, при котором из одного числа вычитают другое; результат называют разностью. В записи 10 − 4 = 6 число 10 уменьшают на 4, а 6 — разность. Вычитание позволяет найти, сколько осталось или на сколько одно число больше другого.

Скобки — знаки, которые показывают, какие действия нужно выполнить раньше остальных. Так, в выражении 20 − (7 + 3) сначала находят сумму 7 и 3. Скобки нужны, чтобы явно задать порядок вычислений и не перепутать его.

Порядок действий — последовательность, в которой выполняют действия в выражении. Если действий несколько, соблюдение этой последовательности помогает получить правильный результат. Например, скобки указывают, какое действие выполнить первым, даже если в записи оно стоит не слева.

Как это устроено

Сложение и вычитание — действия одной ступени: если скобок нет, их выполняют по порядку слева направо. Это правило нужно, потому что ни сложение, ни вычитание не получают приоритета перед другим из этих двух действий. Например, в выражении 18 − 5 + 2 сначала вычисляют 18 − 5, а затем к результату прибавляют 2. Если произвольно переставить действия, можно изменить значение выражения.

Действия в скобках выполняют раньше действий за скобками, поэтому скобки могут изменить значение выражения. Они как бы объединяют числа внутри в одну часть, которую сначала нужно вычислить. Например, 20 − (7 + 3) = 20 − 10 = 10. Без скобок в записи 20 − 7 + 3 действия шли бы слева направо и результат был бы 16, поэтому скобки здесь не просто для удобства.

Если перед скобками стоит знак «+», при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри не меняются. Плюс показывает, что к предыдущей части выражения прибавляют всё содержимое скобок, поэтому внутренние действия сохраняют свой смысл. Например, a + (b − c) = a + b − c. После раскрытия скобок можно продолжать вычисление в обычном порядке.

Если перед скобками стоит знак «−», при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри меняются на противоположные. Это происходит потому, что из предыдущего выражения вычитают всю скобочную часть, а не только её первое число. Поэтому a − (b − c) = a − b + c: вычитаемое b остаётся со знаком минус, а вычитание числа c превращается в прибавление. Скобки можно убрать, если перед ними стоит «+»; если стоит «−», сначала меняют знаки внутри, иначе значение выражения изменится.

Как раскрывать скобки при сложении и вычитании

Таблица показывает, как знак перед скобками влияет на знаки слагаемых внутри. Для плюса знаки остаются прежними, для минуса — каждый знак становится противоположным. Сверяйся с соответствующей строкой и проверяй, что изменены все знаки, а не только первый.

Разбор задач

Вычислите 48 − (12 + 8).

В скобках записана сумма, а перед скобками стоит вычитание. Сначала найдём эту сумму, чтобы заменить скобочную часть одним числом. Затем вычтем полученное значение из 48.

1. Выполняем действие в скобках: 12 + 8 = 20.
2. Подставляем результат: 48 − 20.
3. Вычитаем: 48 − 20 = 28.

Ответ: 28. Проверить ход решения можно по порядку действий: сумма была вычислена первой, как и требуют скобки.

Вычислите 75 − (30 − 14).

Сначала можно вычислить разность в скобках, не меняя пока исходную запись. Также это выражение можно упростить раскрытием скобок: перед ними стоит минус, поэтому знаки обоих слагаемых внутри поменяются. Оба способа должны привести к одному результату.

1. Считаем в скобках: 30 − 14 = 16.
2. Вычитаем полученную разность: 75 − 16 = 59.
3. Для проверки раскрываем скобки: 75 − (30 − 14) = 75 − 30 + 14 = 59.

Ответ: 59. При раскрытии знак у 30 стал минусом, а у 14 — плюсом. Совпадение результатов двух способов подтверждает вычисление.

Упростите и вычислите 126 − (48 − 17) + (23 − 9).

В выражении две пары скобок, но перед ними стоят разные знаки. Перед первой стоит минус, поэтому знаки обоих чисел внутри неё изменятся. Перед второй стоит плюс, поэтому её знаки сохранятся; после раскрытия скобок выполним сложение и вычитание слева направо.

1. Раскрываем первую пару: 126 − (48 − 17) = 126 − 48 + 17.
2. Раскрываем вторую пару: (23 − 9) после знака «+» даёт + 23 − 9.
3. Записываем выражение без скобок: 126 − 48 + 17 + 23 − 9.
4. Считаем слева направо: 126 − 48 = 78, 78 + 17 = 95, 95 + 23 = 118, 118 − 9 = 109.

Ответ: 109. Чтобы проверить результат, можно сначала вычислить скобки: 48 − 17 = 31 и 23 − 9 = 14. Тогда 126 − 31 + 14 = 95 + 14 = 109, как и при раскрытии скобок.

Типичные ошибки

Ошибка: вычислять все действия слева направо, не обращая внимания на скобки. Так поступают, когда запоминают правило про порядок слева направо, но забывают, что оно применяется к действиям одной ступени без скобок. Сначала выполни действие внутри каждой скобки. Для проверки сравни начало своего решения с исходной записью: скобочную часть нельзя пропустить.

Ошибка: убрать скобки после знака «−», оставив прежние знаки внутри. Это происходит, если минус перед скобками воспринимают как относящийся только к первому числу. При раскрытии нужно изменить знак каждого слагаемого. Проверь запись на примере a − (b + c): верный результат — a − b − c.

Ошибка: менять знаки внутри скобок после знака «+». Иногда путают правила для плюса и минуса перед скобками. Плюс не меняет слагаемые, потому что к выражению прибавляют всю скобочную часть. Проверь: a + (b − c) должно превратиться в a + b − c, а не в a − b + c.

Ошибка: после минуса изменить знак только у первого числа в скобках. Так можно случайно прочитать минус перед скобками как знак только одного числа. На самом деле вычитается вся скобочная часть, поэтому противоположный знак получает каждое слагаемое. Пересчитай знаки по одному: в a − (b − c) оба меняются, и получается a − b + c.

Связь с другими темами

Для работы со скобками нужно уверенно складывать и вычитать натуральные числа и понимать значения знаков «+» и «−». Если сами вычисления вызывают затруднение, сначала потренируйся выполнять их без скобок, соблюдая порядок слева направо. Освоенные правила затем помогают упрощать числовые и буквенные выражения. Они также пригодятся при решении уравнений, где выражения со скобками нужно преобразовывать, не меняя их значения.

Что запомнить

• Действия в скобках выполняют раньше действий вне скобок.
• Сложение и вычитание без скобок выполняют слева направо.
• Перед скобками стоит «+» — знаки внутри при раскрытии не меняются.
• Перед скобками стоит «−» — знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные.
• После раскрытия скобок порядок действий в выражении сохраняют.
• Чтобы проверить вычисление, можно выполнить действия сначала в скобках, не раскрывая их.