Урок 10. Находим фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это часть плоскости, которую можно описать по форме и границе. На рисунке фигуры бывают отдельными или составленными из нескольких линий и частей. Чтобы распознать фигуру, сравнивай её контур с известными признаками, а не только с общим силуэтом. Это помогает отличить целую фигуру от случайного участка рисунка.

Треугольник — фигура с тремя сторонами и тремя вершинами, то есть точками, где встречаются стороны. Стороны должны образовать замкнутый контур: по нему можно пройти и вернуться в начальную точку. Пересчёт сторон и вершин нужен, чтобы не принять за треугольник заострённую часть другой фигуры. Например, у такой части может оказаться больше трёх сторон.

Четырёхугольник — фигура с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. Его контур также должен быть замкнутым, а каждая вершина отмечает поворот от одной стороны к следующей. Если внимательно проследить границу и пересчитать её части, четырёхугольник не перепутаешь с треугольником. Даже при сложном рисунке решает число сторон всего контура.

Круг — фигура с округлой границей, у которой нет сторон и вершин. Его край не состоит из прямых отрезков и не имеет углов. Это позволяет отличить круг от многоугольников, границы которых образованы сторонами. При поиске круга ориентируйся на непрерывную округлую форму, а не на наличие углов.

Как это устроено

Чтобы найти фигуры на рисунке, раздели его мысленно на небольшие участки и осматривай каждый по очереди. Такой порядок нужен потому, что пересекающиеся линии могут отвлекать и мешать увидеть отдельный контур. Для каждой подходящей части спроси себя, замкнута ли её граница и совпадают ли её признаки с искомой фигурой. После этого переходи к соседним участкам, чтобы не проверять один и тот же контур снова.

При поиске треугольника проследи все стороны по очереди, начиная с любой вершины и двигаясь вдоль границы. Это важно, потому что внешний вид части рисунка может создавать впечатление треугольника, хотя внутри контура есть ещё один поворот. Каждый такой поворот соответствует вершине, а промежуток между соседними вершинами — стороне. Если сторон или вершин не три, найденная часть не является треугольником.

Четырёхугольники ищут похожим способом: выбирают замкнутый контур и считают повороты. В общем рисунке одна сторона может выглядеть как несколько коротких отрезков, поэтому число нарисованных линий не всегда равно числу сторон. Если эти отрезки продолжают друг друга по одной прямой, их можно рассматривать как одну сторону. Считай вершинами только места, где контур действительно меняет направление.

На рисунке могут быть отдельные фигуры, но могут быть и фигуры, образованные вместе несколькими линиями. Кроме того, маленький контур иногда целиком лежит внутри большого. Если искать только самые заметные очертания, такие фигуры легко пропустить: поэтому сначала проверяй простые маленькие контуры, а затем сочетания частей. При этом составная фигура должна иметь собственную замкнутую границу, подходящую по признакам.

Завершая поиск, пройдись по найденным контурам и пересчитай их стороны и вершины. Такая проверка нужна, чтобы исправить случайные совпадения и убедиться, что у каждой фигуры есть замкнутая граница. Удобно записывать объекты по порядку или отмечать уже проверенные контуры. Тогда фигуру, начатую с другой вершины, не примешь за новую и с большей вероятностью учтёшь все части рисунка.

Как распознавать фигуры на рисунке

Сначала выбери в таблице фигуру, которую ищешь, затем сверяй с её признаком каждый подходящий контур. В третьем столбце собраны проверки, которые помогают не спутать фигуру с частью рисунка. Если контур составлен из нескольких отрезков, проверяй его целиком.

Разбор задач

Найди все треугольники

Условие: на рисунке изображены несколько фигур, и нужно найти все треугольники. Самого рисунка для решения недостаточно описывать как набор готовых названий: каждый замкнутый контур нужно проверить. Перечислим действия, которые помогут выполнить задание аккуратно.

1. Осмотри рисунок по участкам и найди контуры, похожие на замкнутые фигуры. Не записывай их сразу: сначала убедись, что граница действительно замыкается.
2. Для каждого контура выбери вершину и пройди по границе до возвращения к началу. Считай стороны между соседними вершинами, а не просто видимые черточки.
3. Оставь в списке контуры, у которых ровно три стороны и три вершины. Проверь, не остался ли незамеченным меньший треугольник внутри крупной фигуры.
4. Просмотри рисунок ещё раз и сравни контуры со списком. Если два обхода описывают одну и ту же границу, оставь её в списке только один раз.

Ответ: все найденные контуры с тремя сторонами и тремя вершинами являются треугольниками. Их количество можно указать после проверки каждого контура; без конкретного рисунка численное значение определить нельзя. Такой способ даёт проверяемый результат и не зависит от того, насколько знакомым кажется очертание.

Найди все четырёхугольники

Условие: в рисунке из пересекающихся отрезков нужно найти все четырёхугольники. Линии могут одновременно служить сторонами разных контуров, а сторона иногда состоит из нескольких отрезков. Поэтому ищи не готовые отдельные фигуры, а замкнутые границы среди всех линий рисунка.

1. Выбери начальную точку и найди замкнутый путь по линиям, возвращающийся к ней. Если путь не замыкается, он не ограничивает фигуру.
2. Проследи весь контур и отмечай места, где он меняет направление. Это вершины, а промежутки между соседними вершинами — стороны.
3. Если на одной прямой несколько коротких отрезков, проверь, продолжают ли они одну сторону без поворота. Тогда учитывай их вместе, а не записывай каждый как отдельную сторону.
4. Запиши контуры с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами. Затем переходи к другим возможным замкнутым путям, не меняя границы уже найденного четырёхугольника.

Ответ: четырёхугольниками являются все замкнутые контуры, у которых после объединения прямолинейных отрезков получается ровно четыре стороны. Число фигур зависит от конкретного рисунка, поэтому его устанавливают перебором контуров. Проверка каждой стороны помогает не пропустить фигуру, скрытую среди пересечений.

Найди все треугольники и четырёхугольники

Условие: на рисунке несколько наложенных друг на друга фигур; нужно найти все треугольники и четырёхугольники и указать их количество. Здесь недостаточно посчитать только отдельные самые заметные части. Крупный контур может включать линии нескольких меньших фигур, а маленький контур может находиться внутри большого.

1. Сначала осмотри рисунок и выпиши все маленькие замкнутые контуры. Для каждого определи, треугольник это или четырёхугольник, пересчитав стороны и вершины.
2. Затем проверь контуры большего размера, которые образуются из нескольких частей рисунка. Проследи их границу целиком и не считай внутренние линии сторонами, если они не меняют внешний контур.
3. Раздели найденные фигуры на две группы: с тремя сторонами и с четырьмя. Стороны, состоящие из нескольких прямых отрезков без поворота, учитывай как одну сторону.
4. Сверь список с рисунком ещё раз. Удаляй повтор, если тот же контур уже записан, даже когда ты нашёл его, начав обход с другой вершины.

Ответ: укажи отдельно число треугольников и число четырёхугольников, полученные после проверки всех контуров. Без самого рисунка конкретные числа назвать нельзя. Перебор от маленьких фигур к большим помогает учесть составные контуры и не посчитать одну фигуру дважды.

Типичные ошибки

Считать треугольником любую заострённую часть рисунка — ошибка: у неё может быть не три стороны или контур может быть незамкнутым. Так происходит, когда полагаются на общий силуэт и не прослеживают границу. Проверь себя: пройди весь контур и пересчитай вершины и стороны. Если их не три, перед тобой не треугольник.

Можно пропустить фигуру, если искать только по готовым отрезкам, нарисованным отдельно. Иногда сторона образована несколькими отрезками, которые продолжают друг друга по одной прямой. Ошибка возникает, когда каждый короткий участок принимают за самостоятельную сторону. Проверь, меняется ли направление линии: если нет, возможно, это одна сторона.

Ещё одна ошибка — принять часть фигуры за целую или не заметить фигуру, составленную из нескольких частей. Причина в том, что взгляд цепляется за небольшие участки и не прослеживает весь замкнутый контур. Для проверки найди границу целиком, включая её начало и конец. Учитывай фигуру только тогда, когда весь контур подходит по числу сторон и вершин.

Повторный подсчёт одной фигуры случается, если обходить один контур с разных вершин и каждый раз считать его новым. Чтобы этого не произошло, записывай найденные фигуры или отмечай проверенные контуры. Сравнивай границы, а не точку, с которой начал обход. Перед подсчётом итогов проверь список и удали совпадающие контуры.

Связь с другими темами

Для поиска фигур нужно уметь различать отрезки и замкнутые контуры, а также считать стороны и вершины. Если контур не замкнут, он не ограничивает целую фигуру; если не пересчитать его повороты, легко ошибиться в числе сторон. Эти навыки делают проверку последовательной и точной. Они пригодятся при изучении многоугольников и их свойств.

Перебор контуров развивает внимание и помогает увидеть, как из частей складываются новые фигуры. В дальнейшем это пригодится, когда нужно будет исследовать многоугольники, сравнивать их свойства или составлять фигуры из заданных частей. Умение отличать маленькие контуры от составных помогает разбирать и более сложные чертежи. Поэтому полезно не угадывать ответ, а обосновывать его признаками.

Что запомнить

• Фигуру на рисунке распознают по её признакам, а не только по общему виду.
• У треугольника три стороны и три вершины.
• У четырёхугольника четыре стороны и четыре вершины.
• Круг не имеет сторон и вершин.
• Сторона фигуры может быть составлена из нескольких отрезков рисунка.
• При поиске учитывают и маленькие, и составленные из частей фигуры.