Урок 36. Учимся выполнять умножение

Определения и обозначения

Множитель — число, которое умножают; в записи a × b числа a и b называют множителями. Например, в выражении 6 × 4 оба числа — множители. Это слово помогает отличать числа, которые участвуют в действии, от результата вычисления.

Произведение — результат умножения, а также выражение, в котором числа соединены знаком умножения. В записи 6 × 4 = 24 число 24 является произведением, и выражение 6 × 4 тоже называют произведением. Понимание этого термина помогает точно говорить и о действии, и о его результате.

Разрядный множитель — число, выраженное единицами, десятками, сотнями и другими разрядами; например, 30 — это 3 десятка. Число 400 означает 4 сотни, а не просто цифру 4. Такое представление показывает, какое значение имеет цифра в записи многозначного числа.

Неполное произведение — результат умножения одного множителя на разрядную часть другого. Например, при вычислении 34 × 12 числа 68 и 340 — неполные произведения: это результаты умножения 34 на 2 и на 10. Их складывают, чтобы получить всё произведение.

Как это устроено

Умножение числа на сумму можно заменить суммой произведений: a × (b + c) = a × b + a × c. Например, 24 × 3 можно вычислить как (20 + 4) × 3 = 20 × 3 + 4 × 3. Это работает потому, что три группы из 24 предметов можно представить как три группы десятков и три группы единиц, а затем объединить. Такое правило называют распределительным свойством умножения относительно сложения.

Чтобы умножить на многозначное число, представь его как сумму разрядных слагаемых. Например, 132 = 100 + 30 + 2, поэтому 246 × 132 = 246 × 100 + 246 × 30 + 246 × 2. Каждый результат называют неполным произведением. Разложение помогает не потерять значение цифр: 3 в числе 132 — это не три единицы, а три десятка.

При письменном умножении действия записывают столбиком: сначала умножают на цифру единиц, затем — на цифру десятков и далее. Полученные неполные произведения располагают так, чтобы одинаковые разряды стояли один под другим, после чего складывают. Выравнивание нужно потому, что складывать следует единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями. Если в промежуточном произведении появляется больше девяти единиц разряда, лишние десятки переносят в следующий разряд.

При умножении на десятки второе неполное произведение начинают записывать со сдвигом на один разряд. Причина в том, что умножение на 3 десятка означает умножение на 30: результат в десять раз больше, чем при умножении на 3. Поэтому цифры этого результата обозначают десятки, сотни и следующие разряды, а не единицы, десятки и сотни. При умножении на сотни запись сдвигают на два разряда.

Перед вычислением полезно прикинуть, каким примерно должен быть ответ. Например, для 246 × 132 можно округлить числа до 250 и 130: произведение будет около 32 500. После точного вычисления результат сравнивают с этой оценкой, чтобы заметить возможную ошибку в разрядах. Если деление уже знакомо, результат можно проверить обратным действием: разделить произведение на один множитель и получить другой.

Как выполнять умножение многозначного числа на разрядные части множителя

Таблица показывает, какое действие выполнять для каждой разрядной части и с какого места записывать результат. Иди по разрядам множителя справа налево, учитывая сдвиг записи. Затем сложи неполные произведения, выравнивая их разряды.

Разбор задач

Вычисли 24 × 3, представив 24 как сумму десятков и единиц.

1. Разложим 24 на разрядные слагаемые: 24 = 20 + 4. Это удобно, потому что каждое слагаемое легко умножить на 3.

2. Применим распределительное свойство: 24 × 3 = (20 + 4) × 3 = 20 × 3 + 4 × 3. Получаем два неполных произведения: 60 и 12.

3. Сложим результаты: 60 + 12 = 72. Проверка: три раза по 24 — это примерно три раза по 20, то есть около 60, поэтому 72 выглядит правдоподобно.

Ответ: 72.

Вычисли 34 × 12 письменно.

1. Разложим второй множитель: 12 = 10 + 2. Сначала найдём результат умножения 34 на единицы, то есть на 2.

2. Вычислим 34 × 2 = 68 и запишем первое неполное произведение. Затем умножим 34 на 10: получится 340, потому что при умножении на десяток результат сдвигается на один разряд.

3. Сложим неполные произведения: 68 + 340 = 408. Проверим прикидкой: 34 × 12 немного больше, чем 30 × 10 = 300, а точное значение 408 вполне подходит.

Ответ: 408.

Вычисли 246 × 132 столбиком и проверь, разумен ли ответ.

1. Представим 132 как 100 + 30 + 2. Начнём с единиц: 246 × 2 = 492, это первое неполное произведение.

2. Умножим 246 на 30: 246 × 3 = 738, значит, 246 × 30 = 7380. Запишем результат со сдвигом на один разряд, так как он получен умножением на десятки.

3. Умножим 246 на 100: получим 24 600, поэтому это произведение записываем со сдвигом на два разряда. Сложим три результата: 492 + 7380 + 24 600 = 32 472.

4. Для прикидки округлим 246 до 250, а 132 до 130: 250 × 130 = 32 500. Полученное значение близко к точному ответу, значит, результат разумен.

Ответ: 32 472.

Типичные ошибки

Если не сдвинуть запись неполного произведения на десятки или сотни, разряды будут приняты за единицы или десятки. Так часто случается, когда смотрят только на цифру множителя и забывают её место в числе. Проверь, на что именно умножал: на 3, 30 или 300, и с какого разряда начинается запись результата.

При сложении неполных произведений нельзя ставить цифры произвольно: единицы должны стоять под единицами, десятки — под десятками. Ошибка возникает, если записи не выровнены по разрядам. Перед сложением проверь вертикальные столбцы, а если результат кажется неожиданным, прикинь порядок ответа.

При умножении отдельной цифры иногда получают число больше девяти, например 7 × 8 = 56. Если забыть перенести 5 десятков в следующий разряд, последующие цифры произведения будут неверными. Записывай 6 в текущий разряд, переноси 5 и проверяй, что прибавил перенос при следующем умножении.

Ноль в записи множителя означает, что в этом разряде нет единиц, десятков или сотен соответствующего вида. Если его не учесть, можно пропустить нужное место для записи следующего неполного произведения. Например, при умножении на 102 есть произведение на 2 и на 100, а результат умножения на десятки равен нулю; следи, чтобы сдвиг для сотен сохранился.

Связь с другими темами

Для письменного умножения нужно уверенно складывать и умножать однозначные числа, знать таблицу умножения и понимать разрядный состав многозначных чисел. Без этого трудно правильно находить неполные произведения и переносить разрядные единицы. Освоенный способ пригодится при письменном делении, решении задач на стоимость и других вычислениях с многозначными числами.

Что запомнить

• Многозначный множитель можно разложить на разрядные слагаемые.
• Каждое неполное произведение находят умножением на одну разрядную часть множителя.
• При записи столбиком разряды должны быть выровнены.
• Произведение на десятки записывают со сдвигом на один разряд.
• Итог получают сложением неполных произведений.
• Результат полезно проверить прикидкой.