"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А.
Деление помогает узнать, сколько приходится на каждую равную часть или сколько равных групп можно составить. В записи a : b = c число a называют делимым, b — делителем, а c — частным. Чтобы найти частное, подбирают число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Поэтому деление связано с умножением и проверяется им. Особые случаи: число не меняется при делении на 1, а на ноль делить нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление — действие, с помощью которого узнают, на сколько равных частей разделить число или сколько раз одно число содержится в другом. Например, можно разделить 12 предметов между несколькими людьми поровну или выяснить, сколько групп по 3 предмета получится из 12. Это действие помогает решать задачи, где нужно распределить целое или найти количество одинаковых групп.
Делимое — число, которое делят. В записи 12 : 3 = 4 делимое — 12: именно это количество предметов или единиц распределяют либо разбивают на группы. Чтобы не перепутать числа задачи, полезно сначала спросить себя, какое количество рассматривают целиком.
Делитель — число, на которое делят; он показывает, на сколько равных частей делят или какого размера группы выделяют. В записи 12 : 3 = 4 делитель — 3: это может быть число частей, если делят поровну, или число предметов в одной группе. Смысл делителя определяется условием, поэтому важно читать задачу, а не только смотреть на числа.
Частное — результат деления. В записи a : b = c число a — делимое, b — делитель, c — частное; знак «:» означает, что первое число делят на второе. Частное показывает, сколько получилось в каждой части или сколько групп найдено, а связь чисел выражается равенством c × b = a.
У деления есть два связанных смысла. Представь 12 яблок и 3 тарелки: если разложить яблоки поровну, узнаем, сколько яблок окажется на каждой тарелке, то есть 12 : 3 = 4. Если же в каждую корзину помещается по 3 яблока, тем же действием 12 : 3 узнаем количество корзин — их будет 4. В первом случае известны части, во втором — размер группы, поэтому перед вычислением стоит определить, что именно спрашивают.
Частное можно найти с помощью умножения, потому что деление и умножение связаны как обратные действия. Нужно подобрать число, которое при умножении на делитель даст делимое: для 24 : 6 ищем число, на которое надо умножить 6, чтобы получить 24. Таблица умножения подсказывает 6 × 4 = 24, значит, частное равно 4. Этот способ удобен, когда произведение делимого и делителя легко вспомнить или проверить.
Проверка деления следует из той же связи: частное умножают на делитель и сравнивают произведение с делимым. Например, если получилось 24 : 6 = 4, проверяем: 4 × 6 = 24. Равенство подтверждает ответ, потому что именно такое произведение должно восстановить число, которое делили. Если произведение не совпало с делимым, значит, частное найдено неверно.
При делении на 1 число не меняется: a : 1 = a. Одна часть содержит всё исходное количество, поэтому разделить число на одну часть — значит оставить его целиком; например, 9 : 1 = 9. Если ненулевое число делят само на себя, получают 1: например, 8 : 8 = 1, ведь из восьми единиц можно составить одну группу по восемь. Ненулевое условие необходимо: случай с нулём устроен иначе.
На ноль делить нельзя: не существует числа, которое при умножении на 0 дало бы ненулевое делимое, поскольку любое число, умноженное на 0, равно 0. Запись 0 : 0 тоже не имеет определённого результата: произведение любого числа на 0 равно 0, и нельзя выбрать единственное частное. А если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю, частное равно нулю: 0 : 5 = 0, так как 0 × 5 = 0. Поэтому важно различать деление нуля на ненулевое число и деление на ноль.
В таблице собраны общая запись деления и особые случаи. Буквы обозначают числа, а условие рядом с формулой уточняет, когда она верна.
| Запись | Что известно | Что нужно найти | Проверка |
|---|---|---|---|
| a : b = c | Делимое a и делитель b | Частное c | c × b = a |
| a : 1 = a | Число a и делитель 1 | Частное равно a | a × 1 = a |
| a : a = 1 (при a ≠ 0) | Одинаковые ненулевые числа | Частное равно 1 | 1 × a = a |
| 0 : b = 0 (при b ≠ 0) | Делимое 0 и ненулевой делитель b | Частное равно 0 | 0 × b = 0 |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найди строку, которая подходит к условию задачи, и определи, что известно. Затем найди частное или используй указанное правило. Для проверки в общей строке умножь частное на делитель и убедись, что получилось делимое.
Задача 1. Разделить 12 яблок поровну между 3 детьми. Сколько яблок получит каждый? Здесь известно количество яблок и число равных частей — детей. Значит, требуется узнать размер каждой части.
Запишем действие: 12 : 3. Число 12 — делимое, потому что яблоки распределяют целиком, а 3 — делитель, потому что детей трое. Это задача на деление на равные части.
Найдём число, которое при умножении на 3 даёт 12. Так как 3 × 4 = 12, частное равно 4. Значит, каждому ребёнку достанется по 4 яблока.
Ответ: 4 яблока каждому.
Задача 2. В 20 коробках по 4 карандаша. Сколько всего карандашей? В условии названы число коробок и количество карандашей в каждой, поэтому здесь нужно найти общее количество. Хотя в плане задачи важно увидеть смысл деления, сначала проверим, как по обратной ситуации восстановить число групп: если всего 20 карандашей и в каждой группе 4, то число групп находят делением.
Запишем 20 : 4, если 20 — это общее число карандашей, а в одной коробке 4. Тогда деление отвечает на вопрос, сколько коробок по 4 карандаша можно заполнить. Это обратная задача к нахождению общего количества умножением.
Подберём частное: 4 × 5 = 20, значит, 20 : 4 = 5. Следовательно, из 20 карандашей получится 5 коробок по 4 карандаша. Если же буквально известно, что коробок уже 20, то общее количество считают умножением: 20 × 4 = 80.
Ответ: при 20 карандашах получается 5 коробок; если коробок 20, всего 80 карандашей.
Задача 3. Вычислить 42 : 6 и проверить результат. Делитель 6 подсказывает, что нужно найти число, которое при умножении на 6 даст 42. Используем таблицу умножения, а затем обязательно проверим деление обратным действием.
Вспомним произведения с множителем 6. Так как 6 × 7 = 42, получаем 42 : 6 = 7. Здесь 42 — делимое, 6 — делитель, а 7 — частное.
Умножим частное на делитель: 7 × 6 = 42. Результат совпал с делимым, поэтому частное найдено верно. Если бы произведение отличалось от 42, пришлось бы пересмотреть вычисление.
Ответ: 7; проверка: 7 × 6 = 42.
Иногда путают делимое и делитель, потому что просто запоминают порядок чисел, но не связывают их с условием. Тогда непонятно, какое количество делят и что показывает другое число. Перед записью действия назови делимое и делитель словами: что распределяем и на сколько частей или групп делим. Проверка умножением поможет обнаружить ошибку в вычислении, но смысл задачи всё равно нужно проверить отдельно.
Можно решить, что деление всегда означает раздать предметы поровну. Это происходит, если знаком только пример с распределением и забыта задача на количество групп. Спроси, что неизвестно: размер каждой части или число частей заданного размера. Затем проверь, соответствует ли ответ вопросу задачи.
Ещё одна ошибка — проверять деление сложением или повторным делением. Такие действия не восстанавливают исходное число так прямо, как умножение частного на делитель. Для записи a : b = c проверяй равенство c × b = a. Если произведение не равно делимому, ответ неверен.
Некоторые пытаются делить на ноль или считают, что 0 : 0 = 0. Деление на ноль не определено: при делителе 0 нельзя получить единственное частное, которое удовлетворяло бы проверке умножением. Не путай этот случай с 0 : b, где b не равен нулю: там частное равно нулю. Проверяй, что делитель действительно отличен от нуля.
Чтобы находить частное, нужно знать таблицу умножения и понимать умножение как сложение равных групп. Если известно, что 6 × 7 = 42, это помогает сразу вычислить 42 : 6. Поэтому умение умножать служит опорой для деления и его проверки.
Деление встречается в текстовых задачах на равное распределение и на нахождение числа одинаковых групп. В первом случае оно помогает узнать, сколько предметов получит каждый, а во втором — сколько групп получится из общего количества. Выбор смысла зависит от того, какую величину спрашивают.
Связь деления с умножением нужна не только для проверки обычных вычислений. Она помогает находить неизвестные компоненты действий и пригодится при изучении деления с остатком. В таких задачах умножение также показывает, сколько предметов уже распределено по полным группам.
Что показывает деление?
Деление показывает, сколько приходится на одну часть при равном распределении или сколько равных групп можно составить. Какой смысл подходит, зависит от условия задачи.
Как проверить, правильно ли найдено частное?
Умножь частное на делитель. Если получилось делимое, деление выполнено верно.
Чем деление на равные части отличается от нахождения числа групп?
При делении на равные части известно количество частей, и нужно узнать размер каждой. При нахождении числа групп известен размер одной группы, а нужно определить, сколько таких групп получится.
Почему при делении на 1 число не меняется?
Если число разделить на одну часть, в этой части останется всё число. Проверка умножением даёт тот же результат: a × 1 = a.
Почему нельзя делить на ноль?
При делении a : 0 нужно было бы найти число, которое при умножении на 0 даёт a. Но произведение любого числа на 0 равно 0, поэтому при a ≠ 0 такого числа нет. Запись 0 : 0 тоже не задаёт единственного ответа.
Урок 46. Делим числа
