Урок 45. Учимся выполнять деление

Определения и обозначения

Деление — действие, которое показывает, на сколько равных частей разделили число или сколько раз одно число содержится в другом. Например, 12 : 3 = 4 можно понять как деление 12 предметов на 3 равные группы или как вопрос: сколько троек содержится в 12? Такое действие помогает распределять предметы поровну и находить неизвестное число одинаковых групп.

Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. В записи 20 : 4 = 5 числом 20 является делимое, а числом 4 — делитель. Эти названия помогают не перепутать числа, когда выполняешь действие или проверяешь его.

Частное — результат деления. В примере 20 : 4 = 5 частное равно 5, а проверить его можно умножением: 5 × 4 = 20. Если деление выполнено с остатком, произведение делителя на частное вместе с остатком тоже должно дать делимое.

Неполное частное — очередная цифра результата, которую находят при письменном делении. Например, в частном 216 цифры 2, 1 и 6 находят последовательно, переходя от старшего разряда к младшему. Это понятие нужно, чтобы понимать, что на каждом шаге вычисляется не всё частное сразу, а одна его цифра.

Как это устроено

Письменное деление начинают с самой левой части делимого, которая не меньше делителя. Если начать с меньшей части, делитель не поместится в ней ни разу и цифра результата для этого разряда будет нулевой; тогда придётся сразу переходить дальше. Поэтому сравнивают делитель сначала с первой цифрой, а если её мало — с первыми двумя или несколькими цифрами числа. Так выбранная часть задаёт старший разряд частного.

Когда первая подходящая часть найдена, определяют, сколько раз делитель содержится в ней. Цифра частного должна быть от 1 до 9, потому что каждый отдельный разряд числа может содержать не больше девяти единиц своего разряда. Удобно прикинуть произведения делителя на разные цифры, начиная с подходящей оценки. Затем проверяют: произведение не должно превышать выбранную часть, иначе цифра частного слишком велика.

Подобранную цифру частного умножают на делитель, а результат вычитают из выбранной части делимого. Это нужно, чтобы узнать, сколько ещё осталось после того, как из части числа выделили целое число групп. Если произведение оказалось больше выбранной части, вычитание дало бы неверный результат, поэтому цифру частного надо уменьшить. После правильного вычитания получается остаток от текущего шага.

Чтобы продолжить деление, к остатку приписывают следующую цифру делимого и рассматривают полученное число как новую часть. Это похоже на переход к следующему разряду: остаток показывает, что осталось от предыдущей части, а приписанная цифра добавляет значение следующего разряда. Получившееся число снова делят на делитель, находят цифру частного, умножают и вычитают. Если цифра делимого уже последняя, продолжать разряды не нужно.

Закончив вычисление, результат проверяют умножением: при точном делении частное умножают на делитель и получают делимое. При делении с остатком к произведению делителя и частного прибавляют остаток. Проверка подтверждает вычисления, но для деления с остатком нужна ещё одна проверка: остаток должен быть меньше делителя. Если он не меньше, значит, в частное можно было добавить ещё одну группу делителя.

Этапы письменного деления

Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующей строке только после проверки текущего шага. Если цифры делимого закончились, выполни итоговую проверку. При делении с остатком отдельно сравни остаток с делителем.

Разбор задач

Задача 1. Вычисли 864 : 4 письменным способом.

1. Начинаем с 8 сотен: число 8 не меньше 4, значит, первая цифра частного относится к разряду сотен. 8 : 4 = 2, поэтому записываем 2 в частное. Умножаем 2 × 4 = 8 и вычитаем: 8 − 8 = 0.

2. Сносим следующую цифру делимого — 6. Делим 6 на 4: получается 1, потому что 1 × 4 = 4, а 2 × 4 = 8 уже больше 6. Записываем 1 в разряд десятков и вычитаем 6 − 4 = 2.

3. К остатку 2 приписываем последнюю цифру 4, получаем 24. Делим 24 на 4, получаем 6; вычитание 24 − 24 даёт 0. Проверяем: 216 × 4 = 864.

Ответ: 864 : 4 = 216.

Задача 2. Вычисли 735 : 5 и объясни, почему в записи частного появляется ноль.

1. Здесь в условии есть неточность: при делении 735 на 5 ноль в частном не появляется. Начинаем с 7: 7 : 5 = 1, остаток равен 2. Приписываем следующую цифру 3 к остатку и получаем 23.

2. Делим 23 на 5: получаем 4, так как 4 × 5 = 20, а 5 × 5 = 25 больше 23. Остаток равен 23 − 20 = 3; приписываем к нему последнюю цифру 5 и получаем 35. Значит, последняя цифра частного равна 7, поскольку 35 : 5 = 7.

3. Получаем частное 147. На промежуточных шагах получились 23 и 35, поэтому ситуации, когда очередная часть меньше 5, здесь нет. Ноль записывали бы только при такой ситуации; например, в 705 : 7 цифра десятков частного равна нулю, поскольку после первого шага к остатку приписывается 0, и получается число меньше 7.

Ответ: 735 : 5 = 147; ноль в частном не появляется.

Задача 3. Раздели 958 на 6 с остатком и проверь результат.

1. Берём первую часть 9: делим 9 на 6, получаем 1, остаток 3. Записываем 1 в разряд сотен частного, потому что 1 × 6 = 6, а 2 × 6 = 12 больше 9. Вычитаем: 9 − 6 = 3.

2. Приписываем к остатку следующую цифру 5, получаем 35. Делим 35 на 6: подходит 5, так как 5 × 6 = 30, а 6 × 6 = 36 превышает 35. Вычитаем 35 − 30 = 5 и сносим последнюю цифру 8: получается 58.

3. Делим 58 на 6: подходит 9, потому что 9 × 6 = 54, а 10 × 6 = 60 больше 58. После вычитания остаётся 4, значит, частное равно 159, остаток — 4. Проверяем: 6 × 159 + 4 = 954 + 4 = 958, причём 4 < 6.

Ответ: 958 : 6 = 159 (ост. 4).

Типичные ошибки

Если начать деление не с того разряда, цифры частного окажутся записаны не на своих местах. Обычно это происходит, когда ученик не проверяет, помещается ли делитель в первой цифре делимого. Выбери первую часть слева, не меньшую делителя, и сверь разряд первой цифры частного с этой частью.

Слишком большую цифру частного получают, если подбирают её наугад и не проверяют умножением. Тогда произведение делителя на выбранную цифру превышает текущую часть делимого, и вычесть его правильно нельзя. Перед вычитанием умножь делитель на цифру частного: произведение должно быть не больше выбранной части.

Ноль в частном иногда пропускают, когда очередная часть делимого меньше делителя. Так теряется разряд: цифры результата сдвигаются, и получается другое число. Проверь, что для каждой обработанной цифры делимого найдено место в частном; если делитель не помещается в очередной части, запиши 0.

Остаток не может быть равен делителю или превышать его. Эту ошибку допускают, если прекращают деление раньше времени или неверно выбирают цифру частного. Сравни остаток с делителем после каждого вычитания: если он не меньше делителя, можно выделить ещё одну группу, значит, шаг выполнен неверно.

Связь с другими темами

Для письменного деления нужны знание таблицы умножения, разрядного состава многозначных чисел и связи умножения с делением. Таблица умножения помогает быстро подбирать цифру частного, а понимание разрядов — правильно записывать её место. Деление пригодится при вычислениях с многозначными числами, проверке ответов и решении текстовых задач, например о равном распределении предметов.

Что запомнить

• Деление выполняют по разрядам делимого.
• Цифры частного находят по очереди, начиная со старшего разряда.
• Каждую цифру частного проверяют умножением на делитель.
• После вычитания к остатку приписывают следующую цифру делимого.
• Если очередная часть меньше делителя, в соответствующем разряде частного записывают ноль.
• При делении с остатком остаток всегда меньше делителя.
• Проверка деления с остатком: делимое = делитель × частное + остаток.